Question

【題目】如圖，三角形是以為底邊的等腰三角形，點(diǎn)、分別是一次函數(shù)的圖象與軸、軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，且該二次函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)使四邊形能構(gòu)成平行四邊形.

（1）試求、的值，并寫出該二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）動(dòng)點(diǎn)沿線段從到，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)沿線段從到都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，問：

①當(dāng)運(yùn)動(dòng)過程中能否存在？如果不存在請(qǐng)說明理由；如果存在請(qǐng)說明點(diǎn)的位置？

②當(dāng)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形的面積最小？此時(shí)四邊形的面積是多少？

Answer 1

【答案】（1），；（2） ①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度處，有；②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)個(gè)單位處時(shí)，四邊形面積最小，最小值為.

【解析】

（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A和C的坐標(biāo)，再由△ABC是等腰三角形可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）①設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，PQ⊥AC，進(jìn)而求出AP、CQ和AQ的值，再由△APQ∽△CAO，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可求出t的值，即可得出答案；

②將問題化簡(jiǎn)為△APQ的面積的最大值，根據(jù)幾何關(guān)系列出關(guān)于時(shí)間的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的最大值，即求出△APQ的面積的最大值，進(jìn)而求出四邊形PDCQ面積的最小值.

解：（1）由，

令，得，所以點(diǎn)；

令，得，所以點(diǎn)，

∵是以為底邊的等腰三角形，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

又∵四邊形是平行四邊形，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

將點(diǎn)、點(diǎn)代入二次函數(shù)，可得，

解得：，

故該二次函數(shù)解析式為：.

（2）∵，，

∴.

①設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，，此時(shí)，，，

∵，

∴，，

∴，

∴，即，

解得：.

即當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度處，有.

②∵，且，

∴當(dāng)的面積最大時(shí)，四邊形的面積最小，

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，，，，

設(shè)底邊上的高為，作于點(diǎn)，

由可得：，

解得：，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值，此時(shí)，

故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)個(gè)單位處時(shí)，四邊形面積最小，最小值為.