Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=5,E、P分別在AD.BC上，且DE=BP=1.連接BE,EC,AP,DP,PD與CE交于點F,AP與BE交于點H．

(1)判斷△BEC的形狀，并說明理由；

(2)判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形，并證明你的判斷；

(3)求四邊形EFPH的面積．

Answer 1

【答案】（1）△BEC為直角三角形，理由見解析；（2）四邊形EFPH是矩形，理由見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠BAE=∠CDE=90°，AB=CD=2，AD=BC=5，然后利用勾股定理即可求出BE和CE，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證出△BEC為直角三角形；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD∥BC， AD=BC=5，然后根據(jù)平行四邊形的判定定理可得四邊形EBPD和四邊形APCE均為平行四邊形，從而證出四邊形EFPH是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的定義即可得出結(jié)論；

（3）先利用三角形面積的兩種求法，即可求出BH，從而求出HE，然后根據(jù)勾股定理即可求出HP，然后根據(jù)矩形的面積公式計算即可．

解：（1）△BEC為直角三角形，理由如下

∵四邊形ABCD為矩形

∴∠BAE=∠CDE=90°，AB=CD=2，AD=BC=5

∵DE=1

∴AE=AD－DE=4

在Rt△ABE中，BE=

在Rt△CDE中CE=

∴BE2＋CE2=25= BC2

∴△BEC為直角三角形

（2）四邊形EFPH是矩形，理由如下

∵四邊形ABCD為矩形

∴AD∥BC， AD=BC=5

∵DE=BP=1，

∴AD－DE=BC－BP=4

即AE=CP=4

∴四邊形EBPD和四邊形APCE均為平行四邊形

∴EB∥DP，AP∥EC

∴四邊形EFPH是平行四邊形

∵△BEC為直角三角形，∠BEC=90°

∴四邊形EFPH是矩形

（3）∵四邊形APCE為平行四邊形，四邊形EFPH是矩形

∴AP=CE=，∠EHP=90°

∴∠BHP=180°－∠EHP=90°

∵S△ABP=

∴

解得：

∴HE=BE－BH=

在Rt△BHP中，HP =

∴S矩形EFPH= HP·HE=