閱讀題:我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過:“數(shù)缺形時少直觀,形小數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家事萬休.”數(shù)形結(jié)合的基本思想,就是在研究問題的過程中,注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察,斟酌問題的具體情形,把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題,使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,化難為易,獲得簡便易行的成功方案.
例:求1+2+3+4+…+n的值,其中n是正整數(shù);
如果采用數(shù)形結(jié)合的方法,現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來求1+2+3+4+…+n的值,方案如下:
如圖,斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1,2,3…n個小圓圈的個數(shù)恰好為所求式子1+2+3+4+…+n的值,為求式子的值,現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊,與原三角形組成一個平行四邊形小圓圈的總個數(shù)為n(n+1)個,因此,組成一個三角形小圓圈的個數(shù)為
n(n+1)
2
,即1+2+3+4+…+n=
n(n+1)
2

①仿照上述數(shù)形結(jié)合的思想方法,設(shè)計相關(guān)圖形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n為正整數(shù)(要求畫出圖形,寫出結(jié)果即可)
②試設(shè)計另外一種圖形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n是正整數(shù)(要求畫出圖形,寫出結(jié)果即可)
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分析:①根據(jù)題干的分析方法,我們也可以作出一個平行四邊形,平行四邊形的邊長分別為2n,n;則組成一個平行四邊形小圓圈的總個數(shù)為n×2n個,因此,組成一個三角形小圓圈的個數(shù)為n×n.
②根據(jù)提干的分析方法,如下圖所示,我們可以作出一個正方形,它的邊長為n,此時小圓圈的總個數(shù)為:n×n=n2
解答:解:①
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組成平行四邊形小圓圈的總個數(shù)為n×2n個,因此,組成一個三角形小圓圈的個數(shù)為n×n=n2

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可以組成一個邊長為n的正方形,因此1+3+5+7+…+(2n-1)=n×n=n2
點評:本題屬于圖形變化類得出規(guī)律型,關(guān)鍵在于根據(jù)提干得出方便求解的圖形,如:平行四邊形、正方形等.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青在訪問德國時,德國一位數(shù)學(xué)家給他出了這樣一道題目:
甲、乙二人相對而行,他們相距10千米,甲每小時走3千米,乙每小時走2千米,甲帶著一條狗,狗每小時跑5千米,狗跑得快,它同甲一起出發(fā),碰到乙的時候向甲跑去,碰到甲的時候又向乙跑去,問當(dāng)甲、乙兩人相遇時,這條狗一共跑了多少千米?
蘇步青教授很快就解出了這道題目.同學(xué)們,你知道他是怎么解的嗎?
這道題最讓人迷惑不解的是甲身邊的那條狗.如果我們先計算狗從甲的身邊跑到乙的身邊的路程s,再計算狗從乙的身邊跑到甲的身邊的路程s,…,顯然把狗跑的路程相加,這樣很繁瑣,笨拙且不易計算.蘇教授從整體著眼,根據(jù)甲、乙出發(fā)到相遇經(jīng)歷的時間與狗所走的時間相等,即10÷(3+2)=2(小時),這樣就不難求出狗一共跑的路程是:5×2=10(千米).
蘇步青教授在解題時,把注意力和著眼點放在問題的整體結(jié)構(gòu)上,從而能觸及問題的實質(zhì):狗從出發(fā)到甲、乙兩相遇所用的時間,恰好是甲、乙二人相遇所用的時間,從而使問題得到巧妙地解決.蘇教授這種解決問題的思想方法實際上就是數(shù)學(xué)中的整體思想的應(yīng)用.對于某些數(shù)學(xué)問題,靈活運用整體思想,?苫y為易,捷足先登.在解二元一次方程組時,也要注意這種思想方法的應(yīng)用.
比如解方程組
x+2(x+2y)=4
x+2y=1

解:把②代入①得x+2×1=4,所以x=2
把x=2代入②得2+2y=1,解之,得y=-
1
2

所以方程組的解為
x=2
y=-
1
2

同學(xué)們,你會用同樣的方法解下面兩個方程嗎?試試看!
(1)
2x-3y-2=0
2x-3y+5
7
+2y=9
(2)
x-3y
3
-
1
3
=1
2x-
x-3y
x
=5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:022

填空題.

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過這樣一句話:“數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休”.如圖,在一個邊長為1的正方形紙板上,依次貼上面積為,,…,的小長方形紙片,請你寫出最后余下未貼部分的面積的表達(dá)式:________.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年人教版七年級下第六章第二節(jié)用坐標(biāo)表示地理位置練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題

奔跑的狗

    蘇步青是我國著名數(shù)學(xué)家、教育家,歷任復(fù)旦大家教授、校長等職.1995年當(dāng)選為中國科學(xué)院學(xué)部委員.蘇步青的主要研究領(lǐng)域是微分幾何學(xué),他又是優(yōu)秀的教學(xué)教育家,從事數(shù)學(xué)教學(xué)達(dá)60年,培養(yǎng)了大批數(shù)學(xué)人才.

    一次在德國,蘇步青與一位有名的數(shù)學(xué)家同乘電車時,這位數(shù)學(xué)家出了一道題目給蘇教授解答.

    這道題是:

甲乙兩人同時從相距100千米的兩地出發(fā),相向而行,甲每小時走6千米,乙每小時走4千米,甲帶了一只狗和他同時出發(fā),狗以每小時10千米的速度向乙奔去,遇到乙即回頭向甲奔去;遇到甲又回頭向乙奔去,直到甲乙兩人相遇時狗才停。畣栠@只狗共奔跑了多少千米路?

對這個問題,蘇步青教授略加思索,就算出了正確的答案.請你也想一想,該怎么解答?

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

閱讀題:我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過:“數(shù)缺形時少直觀,形小數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家事萬休.”數(shù)形結(jié)合的基本思想,就是在研究問題的過程中,注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察,斟酌問題的具體情形,把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題,使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,化難為易,獲得簡便易行的成功方案.
例:求1+2+3+4+…+n的值,其中n是正整數(shù);
如果采用數(shù)形結(jié)合的方法,現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來求1+2+3+4+…+n的值,方案如下:
如圖,斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1,2,3…n個小圓圈的個數(shù)恰好為所求式子1+2+3+4+…+n的值,為求式子的值,現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊,與原三角形組成一個平行四邊形小圓圈的總個數(shù)為n(n+1)個,因此,組成一個三角形小圓圈的個數(shù)為數(shù)學(xué)公式,即1+2+3+4+…+n=數(shù)學(xué)公式
①仿照上述數(shù)形結(jié)合的思想方法,設(shè)計相關(guān)圖形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n為正整數(shù)(要求畫出圖形,寫出結(jié)果即可)
②試設(shè)計另外一種圖形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n是正整數(shù)(要求畫出圖形,寫出結(jié)果即可)

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