Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的三個頂點分別是A（4，0），B（4，3），C（0，3）．動點P從原點O出發(fā)，沿對角線OB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，同時另一動點Q從點A出發(fā)，沿線段AO以每秒$\frac{4}{5}$個單位長的速度向點O勻速運動，過P作PH⊥OA于點H，連接PQ、QB．當(dāng)動點P到達(dá)終點B時，動點Q也隨之停止運動．設(shè)點P、Q運動的時間為t秒（t＞0）．

（1）點P的坐標(biāo)是（$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t）；
（2）在動點P、Q運動的過程中，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△BAQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形OABC的三個頂點分別是A（4，0），B（4，3），C（0，3），可求得OA與AB的長，易證得△OPH∽△OBA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可求得點P的坐標(biāo)；
（2）分別從點H在點Q的左側(cè)與右側(cè)去分析，再由△PHQ∽△BAQ或△PHQ∽△BQA，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：OP=t，AQ=$\frac{4}{5}$t，
∵矩形OABC的三個頂點分別是A（4，0），B（4，3），C（0，3），
∴OA=4，AB=3，BA⊥OA，
∴OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=5，
∵PH⊥OA，
∴PH∥AB，
∴△OPH∽△OBA，
∴$\frac{OH}{OA}=\frac{PH}{AB}=\frac{OP}{OB}$，
∴$\frac{OH}{4}=\frac{PH}{3}=\frac{t}{5}$，
∴OH=$\frac{4}{5}$t，PH=$\frac{3}{5}$t，
∴點P的坐標(biāo)為：（$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t）；
故答案為：$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t；

（2）存在．
如圖（1），點H在Q的左邊時；
∵OH=$\frac{4}{5}$t，AQ=$\frac{4}{5}$t，
∴QH=OA-OH-AQ=4-$\frac{8}{5}$t，
①當(dāng)△PHQ∽△BAQ時，$\frac{PH}{AB}=\frac{QH}{AQ}$，
即$\frac{\frac{3}{5}t}{3}=\frac{4-\frac{8}{5}t}{\frac{4}{5}t}$，
解得：t=5$\sqrt{2}$-5；
②當(dāng)△PHQ∽△BQA時，$\frac{PH}{AQ}=\frac{QH}{AB}$，
即$\frac{\frac{3}{5}t}{\frac{4}{5}t}=\frac{4-\frac{8}{5}t}{3}$，
解得：t=$\frac{35}{32}$；
如圖（2），當(dāng)點H在點Q右側(cè)時；
∵OH=$\frac{4}{5}$t，AQ=$\frac{4}{5}$t，
∴QH=OH+AQ-OA=$\frac{8}{5}$t-4，
③當(dāng)△PHQ∽△BAQ時，$\frac{PH}{AB}=\frac{QH}{AQ}$，
即$\frac{\frac{3}{5}t}{3}=\frac{\frac{8}{5}t-4}{\frac{4}{5}t}$，
解得：t=5；
④當(dāng)△PHQ∽△BQA時，$\frac{PH}{AQ}=\frac{QH}{AB}$，
即$\frac{\frac{3}{5}t}{\frac{4}{5}t}=\frac{\frac{8}{5}t-4}{3}$，
解得：t=$\frac{125}{32}$；
綜上所述：當(dāng)t=5$\sqrt{2}$-5或t=$\frac{35}{32}$或t=5或t=$\frac{125}{32}$時，以P、H、Q為頂點的三角形與△BAQ相似．

點評 此題屬于相似三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及點與坐標(biāo)的關(guān)系．注意結(jié)合題意畫出圖形，利用圖形求解是關(guān)鍵，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用．