Question

18．實數(shù)a，n，m，b滿足a＜n＜m＜b，這四個數(shù)在數(shù)軸上對應的點分別為A，N，M，B（如圖），若AM²=BM•AB，BN²=AN•AB，則稱m為a，b的“大黃金數(shù)”，n為a，b的“小黃金數(shù)”，當b-a=2時，a，b的大黃金數(shù)與小黃金數(shù)之差m-n=2$\sqrt{5}$-4．

Answer 1

分析 設AM=x，根據(jù)AM²=BM•AB列一元二次方程，求出x，得出AM=BN=$\sqrt{5}$-1，從而求出MN的長，即m-n的長．

解答 解：由題意得：AB=b-a=2
設AM=x，則BM=2-x
x²=2（2-x）
x=-1±$\sqrt{5}$
x₁=-1+$\sqrt{5}$，x₂=-1-$\sqrt{5}$（舍）
則AM=BN=$\sqrt{5}$-1
∴MN=m-n=AM+BN-2=2（$\sqrt{5}$-1）-2=2$\sqrt{5}$-4
故答案為：2$\sqrt{5}$-4．

點評 本題考查了數(shù)軸上兩點的距離和黃金分割的定義及一元二次方程，做好此題的關鍵是能正確表示數(shù)軸上兩點的距離：若A表示x_A、B表示x_B，則AB=|x_B-x_A|；同時會用配方法解一元二次方程，理解線段的和、差關系．