Question

已知，在△ABC中，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，點D，E是直線m上的動點，且∠BDE=∠AEC=∠BAC．
（1）如圖1，求證：DE=BD+CE；
（2）如圖2，以AB為邊作等邊三角形ABF，連接FC，F(xiàn)D，F(xiàn)E（D，A，E三點互不重合），若∠BAC=120°，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用∠BDA=∠BAC得到：∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，得出∠CAE=∠ABD，進而得出△ADB≌△CEA即可得出答案；
（2）由等邊三角形ABF及∠BAC=120°，可得∠FAC=60°，由（1）知：△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，進而得出△FDB≌△FEA，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，進而得到∠DFE=60°，所以可判斷△DEF的形狀為等邊三角形．

解答：證明：（1）證明：∵∠BDA=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，

∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）DF=EF．理由如下：

由（1）知，△ADB≌△CAE，
BD=EA，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF為等邊三角形，
∴∠ABF=∠BAF=60°，BF=AF，
∵∠BAC=120°，
∴∠FAC=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
在△DBF和△EAF中，

FB=FA ∠FBD=∠FAE BD=AE

，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF為等邊三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．