Question

如圖，在△ACB中，∠C=90°，AC=9，BC=12．O為BC邊上一點，以O為圓心，OB為半徑作半圓與BC邊和AB邊分別交于點D、點E，連結DE．
（1）過點E作直線EF交AC邊于F，當EF=AF時，求證：直線EF為半圓O的切線；
（2）當DE=4時，求圓的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）連接OE．根據(jù)切線的判定定理，需證EF⊥OE；
（2）易證△ABC∽△DBE，得比例線段求解．

解答：（1）證明：連接OE．
∵EF=AF，
∴∠A=∠AEF．
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE．
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∴∠AEF+∠OEB=90°．
∴∠FEO=90°．
∵OE是⊙O半徑，
∴EF是⊙O的切線．

（2）解：∵∠C=90°，BC=12，AC=9，
∴AB=15．
∵BD是直徑，
∴∠DEB=90°．
∴∠DEB=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA．
∴

BD

AB

=

DE

AC

，
∴

BD

15

=

4

9

，
解得：BD=

60

9

=

20

3

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，以及切線的判定，證明經(jīng)過圓上一點的直線是圓的切線，常作輔助線是連接圓心和該點，證明直線和該半徑垂直．