【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC邊上的高,E是BC邊上的一個動點(不與B,C重合),EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分別為F,G.
(1)求證:;
(2)FD與DG是否垂直?若垂直,請給出證明;若不垂直,請說明理由;
(3)當的值為多少時,△FDG為等腰直角三角形?
【答案】(1)見解析;(2)FD與DG垂直,理由見解析;(3)當時,△FDG為等腰直角三角形,理由見解析.
【解析】
(1)由比例線段可知,我們需要證明△ADC∽△EGC,由兩個角對應相等即可證得;
(2)由矩形的判定定理可知,四邊形AFEG為矩形,根據矩形的性質及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD,從而不難得到結論;
(3)先判斷出DF=DG,再利用同角的余角相等判斷出∠ADF=∠CDG,∠BAD=∠C,得出△ADF≌△CDG,即可得出結論.
(1)證明:在△ADC和△EGC中,
∵∠ADC=∠EGC,∠C=∠C,
∴△ADC∽△EGC.
∴.
(2)解:FD與DG垂直.
理由如下:
在四邊形AFEG中,
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°,
∴四邊形AFEG為矩形.
∴AF=EG.
∵,
∴.
又∵△ABC為直角三角形,AD⊥BC,
∴∠FAD=∠C=90°﹣∠DAC,
∴△AFD∽△CGD.
∴∠ADF=∠CDG.
∵∠CDG+∠ADG=90°,
∴∠ADF+∠ADG=90°.
即∠FDG=90°.
∴FD⊥DG.
(3)解:當的值為1時,△FDG為等腰直角三角形,理由如下:
由(2)知,∠FDG=90°,
∵△DFG為等腰直角三角形,
∴DF=DG,
∵AD是BC邊上的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠ADG+∠CDG=90°,
∵∠FDG=90°,
∴∠ADG+∠ADF=90°,
∴∠ADF=∠CDG,
∵∠CAD+∠BAD=90°,∠C+∠CAD=90°,
∴∠BAD=∠C,
∴△ADF≌△CDG(AAS),
∴AD=CD,
∵∠ADC=90°,
∴∠C=45°=∠B,
∴AB=AC,
即:當的值為1時,△FDG為等腰直角三角形.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某商場購進一種每件價格為90元的新商品,在商場試銷時發(fā)現:銷售單價元件與每天銷售量件之間滿足如圖所示的關系.
求出y與x之間的函數關系式;
寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數關系式,并求出售價定為多少時,每天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸、y軸的正半軸上(OA<OB).且OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個根,線段AB的垂直平分線CD交AB于點C,交x軸于點D,點P是直線AB上一個動點,點Q是直線CD上一個動點.
(1)求線段AB的長度:
(2)過動點P作PF⊥OA于F,PE⊥OB于E,點P在移動過程中,線段EF的長度也在改變,請求出線段EF的最小值:
(3)在坐標平面內是否存在一點M,使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形,且該正方形的邊長為AB長?若存在,請直接寫出點M的坐標:若不存在,請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,分別以AB,AC為斜邊作Rt△ABD和Rt△ACE,∠ADB=∠AEC=90°,∠ABD=∠ACE=30°,連接DE.若DE=5,則BC長為_____.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,點A、B、C坐標分別為(0,1)、(0,5)、(3,0),D是平面內一點,且∠ADB=45°,則線段CD的最大值是__________
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的口袋中裝有4張卡片,分別印有數字1、2、3、6,這4張卡片除印有的數字不同外,其余都相同.
(1)攪勻后從中任意摸出1張卡片,摸到印有奇數卡片的概率為_______;
(2)攪勻后從中任意摸出1張卡片,將該卡片印有的數字記為,再從剩余3張卡片中任意摸出1張卡片,將該卡片印有的數字記為,請用列表或畫樹狀圖的方法求出點在反比例函數圖像上的概率.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】(1)問題 :如圖1,在四邊形中,點為上一點,∠=∠=∠=90°,求證:.
(2)探究:如圖2,在四邊形中,點為上一點,當∠=∠=∠時,上述結論是否依然成立?說明理由.
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