【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸、y軸的正半軸上(OA<OB).且OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個根,線段AB的垂直平分線CD交AB于點C,交x軸于點D,點P是直線AB上一個動點,點Q是直線CD上一個動點.
(1)求線段AB的長度:
(2)過動點P作PF⊥OA于F,PE⊥OB于E,點P在移動過程中,線段EF的長度也在改變,請求出線段EF的最小值:
(3)在坐標平面內(nèi)是否存在一點M,使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形,且該正方形的邊長為AB長?若存在,請直接寫出點M的坐標:若不存在,請說明理由.
【答案】(1)10;(2);(3)存在,所求點M的坐標為M1(4,11),M2(﹣4,5),M3(2,﹣3),M4(10,3).
【解析】
(1)利用因式分解法解方程x2﹣14x+48=0,求出x的值,可得到A、B兩點的坐標,在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB即可.
(2)證明四邊形PEOF是矩形,推出EF=OP,根據(jù)垂線段最短解決問題即可.
(3)分兩種情況進行討論:①當點P與點B重合時,先求出BM的解析式為y=x+8,設M(x,x+8),再根據(jù)BM=5列出方程(x+8﹣8)2+x2=52,解方程即可求出M的坐標;②當點P與點A重合時,先求出AM的解析式為y=x﹣,設M(x,x﹣),再根據(jù)AM=5列出方程(x﹣)2+(x﹣6)2=52,解方程即可求出M的坐標.
解:(1)解方程x2﹣14x+48=0,
得x1=6,x2=8,
∵OA<OB,
∴A(6,0),B(0,8);
在Rt△AOB中,∵∠AOB=90°,OA=6,OB=8,
∴AB===10.
(2)如圖,連接OP.
∵PE⊥OB,PF⊥OA,
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°,
∴四邊形PEOF是矩形,
∴EF=OP,
根據(jù)垂線段最短可知當OP⊥AB時,OP的值最小,此時OP==,
∴EF的最小值為.
(3)在坐標平面內(nèi)存在點M,使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形,且該正方形的邊長為AB長.
∵AC=BC=AB=5,
∴以點C、P、Q、M為頂點的正方形的邊長為5,且點P與點B或點A重合.分兩種情況:
①當點P與點B重合時,易求BM的解析式為y=x+8,設M(x,x+8),
∵B(0,8),BM=5,
∴(x+8﹣8)2+x2=52,
化簡整理,得x2=16,
解得x=±4,
∴M1(4,11),M2(﹣4,5);
②當點P與點A重合時,易求AM的解析式為y=x﹣,設M(x,x﹣),
∵A(6,0),AM=5,
∴(x﹣)2+(x﹣6)2=52,
化簡整理,得x2﹣12x+20=0,
解得x1=2,x2=10,
∴M3(2,﹣3),M4(10,3);
綜上所述,所求點M的坐標為M1(4,11),M2(﹣4,5),M3(2,﹣3),M4(10,3).
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【題目】如圖,已知射線,點從B點出發(fā),以每秒1個單位長度沿射線向右運動;同時射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)一周,當射線停止運動時,點隨之停止運動.以為圓心,1個單位長度為半徑畫圓,若運動兩秒后,射線與恰好有且只有一個公共點,則射線旋轉(zhuǎn)的速度為每秒______度.
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【題目】為了增強學生的安全意識,某校組織了一次全校2500名學生都參加的“安全知識”考試.閱卷后,學校團委隨機抽取了100份考卷進行分析統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)考試成績(x分)的最低分為51分,最高分為滿分100分,并繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表.請根據(jù)圖表提供的信息,解答下列問題:
(1)填空:a=______,b=______,n=______;
(2)將頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(3)該校對考試成績?yōu)?/span>91≤x≤100的學生進行獎勵,按成績從高分到低分設一、二、三等獎,并且一、二、三等獎的人數(shù)比例為1:3:6,請你估算全校獲得二等獎的學生人數(shù).
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【題目】如圖,正方形ABCD中,E,F分別在邊AD,CD上,AF,BE相交于點G,若AE=3ED,DF=CF,則的值是
A. B. C. D.
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【題目】某校為了解節(jié)能減排、垃圾分類等知識的普及情況,從該校2000名學生中隨機抽取了部分學生進行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果分為“非常了解”、“了解”、“了解較少”、“不了解”四類,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)統(tǒng)計圖回答下列問題:
(1)補全條形統(tǒng)計圖并填空,本次調(diào)查的學生共有 名,估計該校2000名學生中“不了解”的人數(shù)為 .
(2)“非常了解”的4人中有A1、A2兩名男生,B1、B2兩名女生,若從中隨機抽取兩人去參加環(huán)保知識競賽,請用畫樹狀圖或列表的方法,求恰好抽到兩名男生的概率.
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【題目】在平面直角坐標系中(如圖),已知二次函數(shù)(其中a、b、c是常數(shù),且a≠0)的圖像經(jīng)過點A(0,-3)、B(1,0)、C(3,0),聯(lián)結(jié)AB、AC.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)點D是線段AC上的一點,聯(lián)結(jié)BD,如果,求tan∠DBC的值;
(3)如果點E在該二次函數(shù)圖像的對稱軸上,當AC平分∠BAE時,求點E的坐標.
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【題目】小彬做了探究物體投影規(guī)律的實驗,并提出了一些數(shù)學問題請你解答:
(1)如圖1,白天在陽光下,小彬?qū)⒛緱U水平放置,此時木桿在水平地面上的影子為線段.
①若木桿的長為,則其影子的長為 ;
②在同一時刻同一地點,將另一根木桿直立于地面,請畫出表示此時木桿在地面上影子的線段;
(2)如圖2,夜晚在路燈下,小彬?qū)⒛緱U水平放置,此時木桿在水平地面上的影子為線段.
①請在圖中畫出表示路燈燈泡位置的點;
②若木桿的長為,經(jīng)測量木桿距離地面,其影子的長為,則路燈距離地面的高度為.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC邊上的高,E是BC邊上的一個動點(不與B,C重合),EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分別為F,G.
(1)求證:;
(2)FD與DG是否垂直?若垂直,請給出證明;若不垂直,請說明理由;
(3)當的值為多少時,△FDG為等腰直角三角形?
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【題目】在不透明的袋子中有四張標有數(shù)字1,2,3,4的卡片,小明、小華兩人按照各自的規(guī)則玩抽卡片游戲。
小明畫出樹形圖如下:
小華列出表格如下:
第一次 第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | (1,1) | (2,1) | (3,1) | (4,1) |
2 | (1,2) | (2,2) | ① | (4,2) |
3 | (1,3) | (2,3) | (3,3) | (4,3) |
4 | (1,4) | (2,4) | (3,4) | (4,4) |
回答下列問題:
(1)根據(jù)小明畫出的樹形圖分析,他的游戲規(guī)則是:隨機抽出一張卡片后 (填“放回”或“不放回”),再隨機抽出一張卡片;
(2)根據(jù)小華的游戲規(guī)則,表格中①表示的有序數(shù)對為 ;
(3)規(guī)定兩次抽到的數(shù)字之和為奇數(shù)的獲勝,你認為淮獲勝的可能性大?為什么?
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