【題目】如圖①,AB是圓O的一條弦,C是優(yōu)弧 上一點.

(1)若∠ACB=45°,PO上一點(不與A.B重合),則∠APB=___;

(2)如圖②,若點P是弦AB所圍成的弓形區(qū)域(不含弦AB)內(nèi)一點.求證:∠APB>ACB;

(3)請在圖③中直接用陰影部分表示出在弦AB所圍成的弓形區(qū)域內(nèi)滿足

的點P所在的范圍;

4)在(1)的條件下,以PB為邊,向右作等腰直角三角形PBQ,連結(jié)AQ,如圖4,已知AB=2

①當(dāng)點Q在線段AB的延長線上時,線段AQ的長為____________

②線段AQ的最小值為_____________

【答案】145°135°;(2)答案見詳解;(3)答案見詳解;(4)① 4;②

【解析】

1)根據(jù)題意,點P在優(yōu)弧 上時,∠APB=ACB=45°;當(dāng)點P在劣弧 上時,∠APB=180°-ACB=135°;

2)延長AP交圓O于點Q,連接BQ,根據(jù)三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角,可以得證;

3)根據(jù)第(2)問和圓周角定理可知,畫出過點AB、O的圓,即可得到點P所在的陰影部分;

4)①根據(jù)題意可知, 是等腰直角三角形,點Q在線段AB的延長線上時,點P只能在優(yōu)弧上,且,證明是等腰直角三角形即可得解;

②根據(jù)題意,連接PA,設(shè)PQ于點T,連接AT,BT,可得AT 的直徑,即是等腰直角三角形,AB=BT=2,以BT為底向右作等腰RtBKT,則KT=KB=,由∠BQT=45°,可得點Q的運動軌跡是以K為圓心,KT為半徑的圓;求出AK的值為,最后根據(jù)三角形三邊長的關(guān)系,即可得到AQ的最小值.

1)如圖①所示,

第一種情況:點P在優(yōu)弧 上時,∠AP1B=ACB=45°;

第二種情況:點P在劣弧 上時,

∵四邊形ACBP2是圓的內(nèi)接四邊形,

∴∠AP2B=180°-ACB=135°

故答案為:45°135°;

2)如圖②所示,延長AP交圓O于點Q,連接BQ,則

∴∠APB>∠PQB,即∠APB>∠ACB;

3)連接AOBO,作的外接圓,即可得到所求的陰影部分;

4)①如圖:

是等腰直角三角形,點Q在線段AB的延長線上,

∴點P只能在優(yōu)弧上,且,

連接AP,

,,

,

是等腰直角三角形,

②如圖,連接PA,設(shè)PQ于點T,連接AT,BT.

∵∠APB=BPQ=45°

∴∠APT=90°,

∵∠TAB=BPQ=45°,∠ABT=90°,

AB=BT=2,

BT為底邊向右作等腰RtBKT,則KT=KB=,

∵∠BQT=45°,

∴點Q的運動軌跡是以K為圓心,KT為半徑的圓,KQ=KT=KB=

KMBAAB的延長線于點M,連接AK,MB=KM=1AM=3,

,

,

AQ的最小值是.

練習(xí)冊系列答案
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3)將圖①中的三角板OMN繞點O按每秒30°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,在第____________秒時,直線MN恰好與直線CD垂直.(直接寫出結(jié)果)

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