Question

【題目】如圖①,AB是圓O的一條弦,點C是優(yōu)弧 上一點.

(1)若∠ACB=45°,點P是O上一點(不與A.B重合)，則∠APB=___；

(2)如圖②,若點P是弦AB與所圍成的弓形區(qū)域(不含弦AB與)內(nèi)一點.求證：∠APB>∠ACB；

(3)請在圖③中直接用陰影部分表示出在弦AB與所圍成的弓形區(qū)域內(nèi)滿足

的點P所在的范圍；

（4）在（1）的條件下，以PB為邊，向右作等腰直角三角形PBQ，連結(jié)AQ，如圖4，已知AB=2，

①當(dāng)點Q在線段AB的延長線上時，線段AQ的長為____________

②線段AQ的最小值為_____________

Answer 1

【答案】（1）45°或135°；（2）答案見詳解；（3）答案見詳解；（4）① 4；②

【解析】

（1）根據(jù)題意，點P在優(yōu)弧 上時，∠APB=∠ACB=45°；當(dāng)點P在劣弧 上時，∠APB=180°-∠ACB=135°；

（2）延長AP交圓O于點Q，連接BQ，根據(jù)三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角，可以得證；

（3）根據(jù)第（2）問和圓周角定理可知，畫出過點A、B、O的圓，即可得到點P所在的陰影部分；

（4）①根據(jù)題意可知， 是等腰直角三角形，點Q在線段AB的延長線上時，點P只能在優(yōu)弧上，且，證明是等腰直角三角形即可得解；

②根據(jù)題意，連接PA，設(shè)PQ交于點T，連接AT,BT，可得AT是 的直徑，即是等腰直角三角形，AB=BT=2，以BT為底向右作等腰RtBKT，則KT=KB=,由∠BQT=45°，可得點Q的運動軌跡是以K為圓心，KT為半徑的圓；求出AK的值為，最后根據(jù)三角形三邊長的關(guān)系，即可得到AQ的最小值.

（1）如圖①所示，

第一種情況：點P在優(yōu)弧 上時，∠AP1B=∠ACB=45°；

第二種情況：點P在劣弧 上時，

∵四邊形ACBP2是圓的內(nèi)接四邊形，

∴

∴∠AP2B=180°-∠ACB=135°，

故答案為：45°或135°；

（2）如圖②所示，延長AP交圓O于點Q，連接BQ，則，

∵

∴∠APB＞∠PQB，即∠APB＞∠ACB；

（3）連接AO，BO，作的外接圓，即可得到所求的陰影部分；

（4）①如圖：

∵ 是等腰直角三角形，點Q在線段AB的延長線上，

∴點P只能在優(yōu)弧上，且，

連接AP，

∵，，

∴ ，

∴是等腰直角三角形，

∴；

②如圖，連接PA，設(shè)PQ交于點T，連接AT，BT.

∵∠APB=∠BPQ=45°，

∴∠APT=90°，

∵∠TAB=∠BPQ=45°，∠ABT=90°,

∴AB=BT=2，

以BT為底邊向右作等腰RtBKT，則KT=KB=，

∵∠BQT=45°，

∴點Q的運動軌跡是以K為圓心，KT為半徑的圓，KQ=KT=KB=

作KM⊥BA交AB的延長線于點M，連接AK，MB=KM=1，AM=3，

∴，

∵,

∴ ,

∴AQ的最小值是.