Question

【題目】如圖,在中，，，高， 矩形的一邊在邊上，、分別在、上，交于點．

(1)求證：；

(2)設，當為何值時，矩形的面積最大?并求出最大面積；

(3)當矩形的面積最大時，該矩形以每秒個單位的速度沿射線勻速向上運動(當矩形的邊到達點時停止運動)，設運動時間為秒，矩形與重疊部分的面積為，求與的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當x為時，矩形的面積有最大值5；（3）S=

【解析】

（1）由條件可得EF∥BC，根據(jù)相似三角形的判定即可求證；
（2）由（1）可得，用x表示出HD，表示出矩形EFPQ的面積，利用二次函數(shù)可求得其最大值；
（3）當0≤t＜2時，設矩形EFPQ與AB、AC的交點分別為M、N、R、S，可利用平行表示出MN的長，可表示出△EMS和△NFR的面積，進一步可表示出重疊部分的面積；當2≤t≤4時，重疊部分為△P′Q′A，利用平行分別用x表示出其底和高，可表示出面積．

解：（1）∵四邊形EFPQ為矩形，
∴EF∥BC，
∴；
（2）∵

∴，即，
∴HD=4-，
∴S矩形EFPQ=EFFQ=EFHD=x（4-）=-x2+4x，
該函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，故當x=時有最大值，最大值為5，
即當x為時，矩形的面積有最大值5；
（3）由（2）可知，當矩形面積取最大值時，EF=，FQ=2，
①當0≤t≤2時，如圖1，設矩形與AB、AC分別交與點M、N、R、S，與AD交于J、L，連接RS，交AD于K，

由題意可知LD=JK=t，則AJ=AD-LD-JL=4-t-2=2-t，
又∵RS=，
∴R、S為AB、AC的中點，
∴AK=AD=2，ES=FR=JK=t，
又∵MN∥RS，
∴，即，
∴MN=-t，
∴EM+FN=EF-MN=-（-t）=t，
∴S△EMS+S△FNR=ES（EM+FN）=tt=，
∴S=S矩形EFPQ-（S△EMS+S△FNR）=5-；
②當2＜t≤4時，如圖2，設矩形與AB、AC、AD分別交于點Q′、P′、D′，

根據(jù)題意D′D=t，則AD′=4-t，
∵PQ∥BC，
∴，即，
解得P′Q′=5-t，
∴S=S△AP′Q′=P′Q′AD′=（4-t）（5-t）=-5t+10；
綜上可知S=．