Question

【題目】已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同一側(cè)，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM，將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持∠ABP=90°不變，BP邊與直線l相交于點(diǎn)P．

（1）當(dāng)P與O重合時(shí)（如圖2所示），設(shè)點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，連接BC．求證：四邊形OCBM是正方形；

（2）請(qǐng)利用如圖1所示的情形，求證：=；

（3）若AO=2，且當(dāng)MO=2PO時(shí)，請(qǐng)直接寫出AB和PB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當(dāng)點(diǎn)P在O的右側(cè)時(shí)， AB=3，BM=3；點(diǎn)P在O的左側(cè)時(shí)，AB=，,PB=

【解析】（1）先證明四邊形OCBM是平行四邊形，由于∠BMO=90°，所以OCBM是矩形，最后直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可證明四邊形OCBM是正方形；

（2）連接AP、OB，由于∠ABP=∠AOP=90°，所以A、B、O、P四點(diǎn)共圓，從而利用圓周角定理可證明∠APB=∠OBM，所以△APB∽△OBM，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．

（3）由于點(diǎn)P的位置不確定，故需要分情況進(jìn)行討論，共兩種情況，第一種情況是點(diǎn)P在O的左側(cè)時(shí)，第二種情況是點(diǎn)P在O的右側(cè)時(shí)，然后利用四點(diǎn)共圓、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理即可求出答案．

（1）∵2BM=AO，2CO=AO，

∴BM=CO，

∵AO∥BM，

∴四邊形OCBM是平行四邊形，

∵∠BMO=90°，

∴OCBM是矩形，

∵∠ABP=90°，C是AO的中點(diǎn)，

∴OC=BC，

∴矩形OCBM是正方形；

（2）連接AP、OB，

∵∠ABP=∠AOP=90°，

∴A、B、O、P四點(diǎn)共圓，

由圓周角定理可知：∠APB=∠AOB，

∵AO∥BM，

∴∠AOB=∠OBM，

∴∠APB=∠OBM，

∴△APB∽△OBM，

∴；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在O的左側(cè)時(shí)，如圖所示，

過點(diǎn)B作BD⊥AO于點(diǎn)D，

易證△PEO∽△BED，

∴，

易證：四邊形DBMO是矩形，

∴BD=MO，OD=BM，

∴MO=2PO=BD，

∴，

∵AO=2BM=2，

∴BM=，

∴OE=，DE=，

易證△ADB∽△ABE，

∴AB2=ADAE，

∵AD=DO=DM=，

∴AE=AD+DE=

∴AB=，

由勾股定理可知：BE=，

易證：△PEO∽△PBM，

∴，

∴PB=；

當(dāng)點(diǎn)P在O的右側(cè)時(shí)，如圖所示，

過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，

∵MO=2PO，

∴點(diǎn)P是OM的中點(diǎn)，

設(shè)PM=x，BD=2x，

∵∠AOM=∠ABP=90°，

∴A、O、P、B四點(diǎn)共圓，

∴四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠BPM=∠A，

∴△ABD∽△PBM，

∴，

又易證四邊形ODBM是矩形，AO=2BM，

∴AD=BM=，

∴，

解得：x=，

∴BD=2x=2

由勾股定理可知：AB=3，BM=3.