【題目】已知:A、B兩點(diǎn)在直線l的同一側(cè),線段AO,BM均是直線l的垂線段,且BM在AO的右邊,AO=2BM,將BM沿直線l向右平移,在平移過程中,始終保持∠ABP=90°不變,BP邊與直線l相交于點(diǎn)P.
(1)當(dāng)P與O重合時(shí)(如圖2所示),設(shè)點(diǎn)C是AO的中點(diǎn),連接BC.求證:四邊形OCBM是正方形;
(2)請(qǐng)利用如圖1所示的情形,求證:=;
(3)若AO=2,且當(dāng)MO=2PO時(shí),請(qǐng)直接寫出AB和PB的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)當(dāng)點(diǎn)P在O的右側(cè)時(shí), AB=3,BM=3;點(diǎn)P在O的左側(cè)時(shí),AB=,,PB=
【解析】(1)先證明四邊形OCBM是平行四邊形,由于∠BMO=90°,所以OCBM是矩形,最后直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可證明四邊形OCBM是正方形;
(2)連接AP、OB,由于∠ABP=∠AOP=90°,所以A、B、O、P四點(diǎn)共圓,從而利用圓周角定理可證明∠APB=∠OBM,所以△APB∽△OBM,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案.
(3)由于點(diǎn)P的位置不確定,故需要分情況進(jìn)行討論,共兩種情況,第一種情況是點(diǎn)P在O的左側(cè)時(shí),第二種情況是點(diǎn)P在O的右側(cè)時(shí),然后利用四點(diǎn)共圓、相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理即可求出答案.
(1)∵2BM=AO,2CO=AO,
∴BM=CO,
∵AO∥BM,
∴四邊形OCBM是平行四邊形,
∵∠BMO=90°,
∴OCBM是矩形,
∵∠ABP=90°,C是AO的中點(diǎn),
∴OC=BC,
∴矩形OCBM是正方形;
(2)連接AP、OB,
∵∠ABP=∠AOP=90°,
∴A、B、O、P四點(diǎn)共圓,
由圓周角定理可知:∠APB=∠AOB,
∵AO∥BM,
∴∠AOB=∠OBM,
∴∠APB=∠OBM,
∴△APB∽△OBM,
∴;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在O的左側(cè)時(shí),如圖所示,
過點(diǎn)B作BD⊥AO于點(diǎn)D,
易證△PEO∽△BED,
∴,
易證:四邊形DBMO是矩形,
∴BD=MO,OD=BM,
∴MO=2PO=BD,
∴,
∵AO=2BM=2,
∴BM=,
∴OE=,DE=,
易證△ADB∽△ABE,
∴AB2=ADAE,
∵AD=DO=DM=,
∴AE=AD+DE=
∴AB=,
由勾股定理可知:BE=,
易證:△PEO∽△PBM
∴,
∴PB=;
當(dāng)點(diǎn)P在O的右側(cè)時(shí),如圖所示,
過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D,
∵MO=2PO,
∴點(diǎn)P是OM的中點(diǎn),
設(shè)PM=x,BD=2x,
∵∠AOM=∠ABP=90°,
∴A、O、P、B四點(diǎn)共圓,
∴四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠BPM=∠A,
∴△ABD∽△PBM,
∴,
又易證四邊形ODBM是矩形,AO=2BM,
∴AD=BM=,
∴,
解得:x=,
∴BD=2x=2
由勾股定理可知:AB=3,BM=3.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】張華發(fā)現(xiàn)某月的日歷中一個(gè)有趣的問題,他用筆在上面畫如圖所示的十字框,若設(shè)任意一個(gè)十字框里的五個(gè)數(shù)為a、b、c、d、k.設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為k,如圖:試回答下列問題:
(1)此日歷中能畫出 個(gè)十字框?
(2)若a+b+c+d=84,求k的值;
(3)是否存在k的值,使得a+b+c+d=108,請(qǐng)說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,BC=2,將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置,此時(shí)點(diǎn)A′恰好在CB的延長(zhǎng)線上,則圖中陰影部分的面積為_____(結(jié)果保留π).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了提升教學(xué)效果,某學(xué)校決定購買甲、乙兩種多媒體教學(xué)設(shè)備共100臺(tái)投入新學(xué)期的使用.經(jīng)學(xué)校研究決定,總購買金額不得超過535000元,已知每臺(tái)甲、乙兩種型號(hào)的多媒體儀器的單價(jià)分別為5000元和6000元.
(1)學(xué)校至少得購進(jìn)多少臺(tái)甲型多媒體儀器?
(2)在購買時(shí),若學(xué)校要求甲型多媒體儀器的數(shù)量應(yīng)少于乙型多媒體數(shù)量的2倍,則此次購買有幾種方案?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖的方格地面上,標(biāo)有編號(hào)A、B、C的3個(gè)小方格地面是空地,另外6個(gè)小方格地面是草坪,除此以外小方格地面完全相同.
(1)一只自由飛行的鳥,將隨意地落在圖中的方格地面上,問小鳥落在草坪上的概率是多少?
(2)現(xiàn)從3個(gè)小方格空地中任意選取2個(gè)種植草坪,則剛好選取A和B的2個(gè)小方格空地種植草坪的概率是多少(用樹形圖或列表法求解)?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖 ,已知 中,AB=BC,,點(diǎn) 為斜邊 的中點(diǎn),連接 ,AF是 的平分線,分別與 BD、 相交于點(diǎn) E、F.
(1)求證:;
(2)如圖,連接 ,在不添加任何輔助線的條件下,直接寫出圖中所有的等腰三角形(不包含).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)工會(huì)開展“一周工作量完成情況”調(diào)查活動(dòng),隨機(jī)調(diào)查了部分員工一周的工作量剩余情況,并將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪制成如圖1和圖2所示的不完整統(tǒng)計(jì)圖.
(1)被調(diào)查員工人數(shù)為 人:
(2)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)若該企業(yè)有員工10000人,請(qǐng)估計(jì)該企業(yè)某周的工作量完成情況為“剩少量”的員工有多少人?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=,∠B=,AC=1,BC=,AB=2,AC在直線l上,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)到位置①可得到點(diǎn)P1,此時(shí)AP1=2;將位置①的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置②,可得到點(diǎn)P2,此時(shí)AP2=2+;將位置②的三角形繞點(diǎn)P2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置③,可得到點(diǎn)P3,此時(shí)AP3=3+…,按此順序繼續(xù)旋轉(zhuǎn),得到點(diǎn)P2016,則AP2016=( )
A. 2016+671B. 2016+672
C. 2017+671D. 2017+672
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com