Question

如圖直線y=

4

3

x+4與x軸交于B點(diǎn)，與y軸交于A點(diǎn)，直線y=-2x+b過點(diǎn)A與x軸交于C點(diǎn)．
（1）求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）過A、B、C三點(diǎn)作圓交y軸于一點(diǎn)D，再以O(shè)A為直徑作圓交AB、AC于點(diǎn)E、F．求證：∠AEF=∠ADB．
（3）求EF長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）由直線的解析式，分別令x、y為0，可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由于另一直線過A所以得到b=4，進(jìn)而得到C的坐標(biāo)；
（2）連接OF，首先利用AO為直徑，利用同角的余角相等，得到∠AOF=∠ACO，然后多次利用同弧所對(duì)的圓周角相等，得到多對(duì)角相等，進(jìn)行角的等量代換后可得答案；
（3）首先利用三角形相似，得到相關(guān)線段的比例式，求出AF=16×

1

2 5

=

8 5

5

，再利用△AEF∽△ACB，得到比例式，代入數(shù)值可求出EF的長(zhǎng)．

解答：解：連接OF，
（1）x=0時(shí)，y=4
∴A（0.4）
同理B（-3，0），C（2，0）

（2）∵AB是直徑，
∴∠AFO=90°，
∴∠AEF=∠AOF=∠ACO，
又∠ACO=∠ADB，
∴∠AEF=∠ADB

（3）由（1）知OA=4，OB=3，OC=2
∴AC=

42+22

=2

5

，AB=

42+32

=5
∵△AOF∽△ACO
∴

AF

AO

=

AO

AC

AF=16×

1

2 5

=

8 5

5

∵△AEF∽△ACB
∴

AF

AB

=

EF

BC

∴EF=

8 5

5

×5×

1

5

∴EF=

8 5

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；在同圓或等圓中，常常用到同弧對(duì)的圓周角相等做題，本題第二個(gè)問題就多次進(jìn)行了應(yīng)用，通過角的等量代換得到答案，是解題的關(guān)鍵，也是下一問解決的前提，注意掌握應(yīng)用．