Question

16．如圖1，直線AD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x-2，與拋物線交于點(diǎn)A（在x軸上），點(diǎn)D．拋物線與x軸另一交點(diǎn)為B（3，0），拋物線與y軸交點(diǎn)C（0，-6）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，連結(jié)CD，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，直線AD與y軸交點(diǎn)為F，若點(diǎn)P由點(diǎn)D出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿DE邊向點(diǎn)E移動(dòng)，1秒后點(diǎn)Q也由點(diǎn)D出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿DC，CO，OE邊向點(diǎn)E移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng)，點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)PQ⊥DF時(shí)，求t的值；
（3）如圖3，點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使A、D、M、N這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出點(diǎn)A坐標(biāo)，把A、B、C三點(diǎn)代入拋物線解析式解方程組即可．
（2）分三種情形討論①當(dāng)Q點(diǎn)在CD上時(shí)②點(diǎn)Q在CO上時(shí)③點(diǎn)Q在OE上時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)路程方程求出t，并且判斷是否符合題意即可．
（3）如圖4中有四種情形，分別根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)或利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決．

解答 解：（1）令y=0，則-2x-2=0，解得x=-1，所以點(diǎn)A坐標(biāo)（-1，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-6）在拋物線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c+0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-4}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=2x²-4x-6．
（2）y=2x-2，令x=0，y=-2，∴F（0，-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=2{x}^{2}-4x-6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.\\;或\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（2，-6）．∵點(diǎn)C（0，-6），
∴CD⊥CF，
∴∠DCF=90°，
由題意：P點(diǎn)移動(dòng)的路程為DP=t，Q點(diǎn)移動(dòng)的路程為3（t-1）=3t-3，
當(dāng)Q點(diǎn)在CD上時(shí)，即0＜3t-3≤2時(shí)，1＜t≤$\frac{5}{3}$時(shí)，
如圖1中，若PQ⊥DF，則有RT△QDP∽R(shí)T△FCD，

∴$\frac{PD}{QD}$=$\frac{CD}{CF}$，即$\frac{t}{3t-3}$=$\frac{1}{2}$，
∴t=3，3＞$\frac{5}{3}$，
∴此時(shí)t不合題意．
當(dāng)點(diǎn)Q在CO上時(shí)，2＜3t-3≤8，$\frac{5}{3}$＜t≤$\frac{11}{3}$時(shí)，如圖2中，過(guò)點(diǎn)P作PK⊥OC于K，

∴CK=PD=t，CQ=3（t-1）-2=3t-5，
若PQ⊥DF，則有RT△PKQ∽R(shí)T△FCD，
∴$\frac{QK}{PK}=\frac{CD}{CF}$，即$\frac{-2t+5}{2}$=$\frac{2}{4}$，
∴t=2，∵$\frac{5}{3}$＜t≤$\frac{11}{3}$，
∴t=2符合題意．
當(dāng)點(diǎn)Q在OE上時(shí)，即8≤3t-3≤10，$\frac{11}{3}$≤t≤$\frac{13}{3}$時(shí)，如圖3中，

若PQ⊥DF，過(guò)點(diǎn)Q作QG∥DF交DE于G，則QG⊥QP，即∠GQP=90°，
∴∠QPE＞90°，這與△QPE內(nèi)角和為180°矛盾，此時(shí)PQ不與DF垂直，
綜上所述：當(dāng)t=2時(shí)，有PQ⊥DF．
（3）如圖4中，

①當(dāng)M₁N₁∥AD，AN₁∥DM₁時(shí)，AN₁=DM₁=2，此時(shí)N₁坐標(biāo)（-3，0），
②當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，∵AN₂=DM₂=2，
∴點(diǎn)N₂坐標(biāo)為（1，0），
③當(dāng)AD∥N₃M₃，AD=M₃N₃時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M₃的縱坐標(biāo)為6，當(dāng)AD∥M₄N₄，AD=M₄N₄時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M₄的縱坐標(biāo)為6，
，令y=6，則2x²-4x-6=6，解得x=1$±\sqrt{7}$，
∴M₃（1+$\sqrt{7}$，6），M₄（1-$\sqrt{7}$，0），
直線M₃N₃為：y=-2x+8+2$\sqrt{7}$，直線M₄N₄為：y=-2x+8-2$\sqrt{7}$，
∴N₃（4+$\sqrt{7}$，0），N₄（4-$\sqrt{7}$，0），
綜上所述點(diǎn)N坐標(biāo)為（-3，0），（1，0），（4+$\sqrt{7}$，0），（4-$\sqrt{7}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是會(huì)分類討論，檢驗(yàn)是否符合題意，第三個(gè)問(wèn)題需要畫(huà)出圖形，利用平行四邊形的性質(zhì)會(huì)一次函數(shù)確定點(diǎn)N的坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．