Question

某課題學(xué)習(xí)小組在一次活動中對三角形的內(nèi)接正方形的有關(guān)問題進(jìn)行了探討：
定義：如果一個正方形的四個頂點(diǎn)都在一個三角形的邊上，那么我們就把這個正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形.
結(jié)論：在探討過程中，有三位同學(xué)得出如下結(jié)果：
甲同學(xué)：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在____個、________個、________個大小不同的內(nèi)接正方形.
乙同學(xué)：在直角三角形中，兩個頂點(diǎn)都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大.
丙同學(xué)：在不等邊銳角三角形中，兩個頂點(diǎn)都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小.
任務(wù)：（1）填充甲同學(xué)結(jié)論中的數(shù)據(jù)；
（2）乙同學(xué)的結(jié)果正確嗎？若不正確，請舉出一個反例并通過計算給予說明，若正確，請給出證明；
（3）請你結(jié)合（2）的判定，推測丙同學(xué)的結(jié)論是否正確，并證明
（如圖，設(shè)銳角△ABC的三條邊分別為不妨設(shè)，三條邊上的對應(yīng)高分別為，內(nèi)接正方形的邊長分別為.若你對本小題證明有困難，可直接用“”這個結(jié)論，但在證明正確的情況下扣1分）.

Answer 1

              
（１）1,2,3.                         ………………3分
（２）乙同學(xué)的結(jié)果不正確.           ………………4分
例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，則.
如圖①，四邊形DEFB是只有一個頂點(diǎn)在斜邊上的內(nèi)接正方形.設(shè)它的邊長為a,則依題意可得：，∴.
如圖②，四邊形DEFH兩個頂點(diǎn)都在斜邊上的內(nèi)接正方形.設(shè)它的邊長為,則依題意可得：，∴.
∴.       ………………7分
（３）丙同學(xué)的結(jié)論正確.
設(shè)△ABC的三條邊分別為不妨設(shè)，三條邊上的對應(yīng)高分別為，內(nèi)接正方形的邊長分別為.
依題意可得：， ∴.同理 .
∵    
=
=
=
又∵，  ∴，
∴，即.
∴在不等邊銳角三角形中，兩個頂點(diǎn)都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小.                                  ………………10分

解析