精英家教網(wǎng)某課題學習小組在一次活動中對三角形的內(nèi)接正方形的有關問題進行了探討:
定義:如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上,那么我們就把這個正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形.
結(jié)論:在探討過程中,有三位同學得出如下結(jié)果:
甲同學:在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在
 
個、
 
個、
 
個大小不同的內(nèi)接正方形.
乙同學:在直角三角形中,兩個頂點都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大.
丙同學:在不等邊銳角三角形中,兩個頂點都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較。
任務:(1)填充甲同學結(jié)論中的數(shù)據(jù);
(2)乙同學的結(jié)果正確嗎?若不正確,請舉出一個反例并通過計算給予說明,若正確,請給出證明;
(3)請你結(jié)合(2)的判定,推測丙同學的結(jié)論是否正確,并證明.
分析:(1)分別畫一下即可得出答案;
(2)先判斷,再舉一個例子;例如:在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=1,則AC=
2

(3)先判斷,再舉一個例子:設△ABC的三條邊分別為a,b,c,不妨設a>b>c,三條邊上的對應高分別為ha,hb,hc,內(nèi)接正方形的邊長分別為xa,xb,xc
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)1,2,3.(3分)

(2)乙同學的結(jié)果不正確.(4分)精英家教網(wǎng)
例如:在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=1,則AC=
2

如圖①,四邊形DEFB是只有一個頂點在斜邊上的內(nèi)接正方形.
設它的邊長為a,則依題意可得:
a
1
=
1-a
1
,∴a=
1
2
,
如圖②,四邊形DEFH兩個頂點都在斜邊上的內(nèi)接正方形.
設它的邊長為b,則依題意可得:
b
2
=
2
2
-b
2
2
,∴b=
2
3

∴a>b.(7分)

(3)丙同學的結(jié)論正確.
設△ABC的三條邊分別為a,b,c,不妨設a>b>c,三條邊上的對應高分別為ha,hb,hc,內(nèi)接正方形的邊長分別為xa,xb,xc
依題意可得:
xa
a
=
ha-xa
ha
,∴xa=
aha
a+ha
.同理xb=
bhb
b+hb

∵xa-xb=
aha
a+ha
-
bhb
b+hb
=
2S
a+ha
-
2S
b+hb

=2S(
1
a+ha
-
1
b+ hb

=
2S
(a+ha)(b+hb
(b+hb-a-ha).
=
2S
(a+ha)(b+hb
(b+
2S
b
-a-
2S
a
).
=
2S
(a+ha)(b+hb
•(b-a)(1-
2S
ab
).
=
2S
(a+ha)(b+hb
•(b-a)(1-
ha
b
).

又∵b<a,ha<b,∴(b-a)(1-
ha
b
)<0,
∴xa<xb,即xa2<xb2
∴在不等邊銳角三角形中,兩個頂點都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小.(10分)
點評:本題是一道難度較大的題目,考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì),舉出例子是解此題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

某課題學習小組在一次活動中對三角形的內(nèi)接正方形的有關問題進行了探討:
定義:如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上,那么我們就把這個正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形.
結(jié)論:在探討過程中,有三位同學得出如下結(jié)果:
甲同學:在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在
1
1
個、
2
2
個、
3
3
個大小不同的內(nèi)接正方形.
乙同學:在直角三角形中,兩個頂點都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大.
任務:(1)填充甲同學結(jié)論中的數(shù)據(jù);
(2)乙同學的結(jié)果正確嗎?若不正確,請舉出一個反例并通過計算給予說明,若正確,請給出證明.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

某課題學習小組在一次活動中對三角形的內(nèi)接正方形的有關問題進行了探討:

  定義:如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上,那么我們就把這個正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形.

  結(jié)論:在探討過程中,有三位同學得出如下結(jié)果:

       甲同學:在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在____個、____個、_____個大小不同的內(nèi)接正方形.

       乙同學:在直角三角形中,兩個頂點都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大.

       丙同學:在不等邊銳角三角形中,兩個頂點都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小.

任務:(1)填充甲同學結(jié)論中的數(shù)據(jù);

       (2)乙同學的結(jié)果正確嗎?若不正確,請舉出一個反例并通過計算給予說明,若正確,請給出證明;

       (3)請你結(jié)合(2)的判定,推測丙同學的結(jié)論是否正確,并證明。

(如圖,設銳角△ABC的三條邊分別為不妨設,三條邊上的對應高分別為,內(nèi)接正方形的邊長分別為.若你對本小題證明有困難,可直接用“”這個結(jié)論,但在證明正確的情況下扣1分).

 

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

某課題學習小組在一次活動中對三角形的內(nèi)接正方形的有關問題進行了探討:
定義:如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上,那么我們就把這個正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形.
結(jié)論:在探討過程中,有三位同學得出如下結(jié)果:
甲同學:在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在____個、________個、________個大小不同的內(nèi)接正方形.
乙同學:在直角三角形中,兩個頂點都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大.
丙同學:在不等邊銳角三角形中,兩個頂點都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小.
任務:(1)填充甲同學結(jié)論中的數(shù)據(jù);
(2)乙同學的結(jié)果正確嗎?若不正確,請舉出一個反例并通過計算給予說明,若正確,請給出證明;
(3)請你結(jié)合(2)的判定,推測丙同學的結(jié)論是否正確,并證明
(如圖,設銳角△ABC的三條邊分別為不妨設,三條邊上的對應高分別為,內(nèi)接正方形的邊長分別為.若你對本小題證明有困難,可直接用“”這個結(jié)論,但在證明正確的情況下扣1分).

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科目:初中數(shù)學 來源:2011年江蘇省江陰市九年級上學期期中考試數(shù)學卷 題型:解答題

某課題學習小組在一次活動中對三角形的內(nèi)接正方形的有關問題進行了探討:

  定義:如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上,那么我們就把這個正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形.

  結(jié)論:在探討過程中,有三位同學得出如下結(jié)果:

        甲同學:在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在____個、____個、_____個大小不同的內(nèi)接正方形.

        乙同學:在直角三角形中,兩個頂點都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大.

        丙同學:在不等邊銳角三角形中,兩個頂點都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小.

任務:(1)填充甲同學結(jié)論中的數(shù)據(jù);

       (2)乙同學的結(jié)果正確嗎?若不正確,請舉出一個反例并通過計算給予說明,若正確,請給出證明;

       (3)請你結(jié)合(2)的判定,推測丙同學的結(jié)論是否正確,并證明。

(如圖,設銳角△ABC的三條邊分別為不妨設,三條邊上的對應高分別為,內(nèi)接正方形的邊長分別為.若你對本小題證明有困難,可直接用“”這個結(jié)論,但在證明正確的情況下扣1分).

 

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