Question

【題目】如圖①，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→C→D運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．連結(jié)PQ、AC、CP、CQ．

(1)點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)，t=　 　；當(dāng)點(diǎn)Q到終點(diǎn)時(shí)，PC的長(zhǎng)度為　 　；

(2)用含t的代數(shù)式表示PD的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)三角形CPQ的面積為9時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】(1)6s ；4；（2）PD=4-2t（0≤t≤2）；PD=2t﹣4（2＜t＜6）；PD=20﹣2t（6≤t≤8）；（3）t=1或t=.

【解析】

（1）點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)，所走路程為AD+CD=12，點(diǎn)P的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度；當(dāng)點(diǎn)Q到終點(diǎn)時(shí)，t=8s，據(jù)此求解出DP長(zhǎng)度并運(yùn)用勾股定理即可求解PC的長(zhǎng)度；

（2）分點(diǎn)P在AD、DC、由C點(diǎn)回頭（CD）這三段不同的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行解答即可；

（3）以上問的結(jié)論作為基礎(chǔ)，由S△CPQ=S矩形ABCD- S△PAQ- S△PDC- S△CBQ進(jìn)行解答即可.

解：（1）在矩形ABCD中，AB=8，AD=4

∴CD=AB=8點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)，所走路程為AD+CD=12，

∴t==6s

當(dāng)點(diǎn)Q到終點(diǎn)時(shí)，t=8s，P點(diǎn)回到CD中點(diǎn)，

∴DP=4，

由勾股定理得PC==4

（2）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，PD=4﹣2t

當(dāng)2＜t＜6時(shí)，PD=2t﹣4

當(dāng)6≤t≤8時(shí)，PD=8﹣（2t﹣12）=20﹣2t

（3）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，AP=2t，PD=4﹣2t，AQ=t，Q=8﹣t，則，

S△CPQ=4×8﹣t.2t﹣（8﹣t）.4﹣（4﹣2t ）.8=﹣t2+10t=9，t1=1，t2=9（舍去）

當(dāng)2＜t＜6時(shí)，PC=12﹣2t

S△CPQ=（12﹣2t）4=24﹣4t=9，t=

當(dāng)6≤t≤8時(shí)，PC=2t﹣12

S△CPQ=（2t﹣12）4=4t﹣24=9，t=（舍去）

綜上所述，當(dāng)三角形CPQ的面積為9時(shí)t=1或t=.