Question

15．閱讀理解題：
定義：如果一個數(shù)的平方等于-1，記為i²=-1①，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么和我們所學(xué)的實數(shù)對應(yīng)起來就叫做復(fù)數(shù)，表示為a+bi（a，b為實數(shù)），a叫這個復(fù)數(shù)的實部，b叫做這個復(fù)數(shù)的虛部．
如果只把i當成代數(shù)，則i將符合一切實數(shù)運算規(guī)則，但要根據(jù)①式變通來簡便運算．不要把復(fù)數(shù)當成高等數(shù)學(xué)，它只是一個小學(xué)就學(xué)過的代數(shù)而已！它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似．
例如計算：（2+i）+（3-4i）=（2+3）+（1-4）i=5-i；（5+i）×（3-4i）=19-17i；
同樣我們也可以化簡$\sqrt{-4}$=$\sqrt{4×（-1）}$=$\sqrt{{2}^{2}×{i}^{2}}$=2i；
也可以解方程x²=-1，解為x₁=i，x₂=-i．
讀完這段文字，請你解答以下問題：
（1）填空：i³=-i，i⁴=1．
（2）計算：①（2+i）（2-i）；  ②（2+i）²；
（3）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：x²-x+1=0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)i²=-1，則i³=i²•i，i⁴=i²•i²，然后計算；
（2）根據(jù)平方差公式和完全平方公式計算，出現(xiàn)i²，化簡為-1計算；
（3）根據(jù)一元二次方程解答即可．

解答 解：（1）∵i²=-1，
∴i³=i²•i=-1•i=-i，
i⁴=i²•i²=-1•（-1）=1，
（2）①（2+i）（2-i）=-i²+4=1+4=5；
②（2+i）²=i²+4i+4=-1+4i+4=3+4i；
（3）x²-x+1=0，解得：x=$\frac{1±\sqrt{3}i}{2}$，
故答案為：（1）-i，1．

點評 本題考查了平方差公式，完全平方公式，是信息給予題，解題步驟為：（1）閱讀理解，發(fā)現(xiàn)信息；（2）提煉信息，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（3）運用規(guī)律，聯(lián)想遷移；（4）類比推理，解答問題．