Question

5．如圖，∠BAC=30°，D在∠BAC內(nèi)，E、F是AB、AC上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△DEF周長最小時(shí)，求∠EDF的度數(shù)．

Answer 1

分析 欲使△DEF周長最小，只需點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)共線即可．所以根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到點(diǎn)E、F；然后利用對頂角的性質(zhì)，等量代換以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可．

解答 解：如圖，過點(diǎn)D作關(guān)于直線AB對稱的點(diǎn)M、關(guān)于直線AC對稱的點(diǎn)N，連接MN，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，此時(shí)△DEF周長最小，
∵∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，同理∠4=∠6，
在△AEF中，∠1+∠4=180°-∠A=150°，∠3+∠6=150°，
∵∠MDE=90°-∠3，∠FDN=90°-∠6，
∴∠MDE+∠NDF=180°-（∠3+∠6）=30°，
∴∠PDQ=360°-90°-90°-30°=150°，
∴∠EDF=∠PDQ-（∠PDE-∠QDF）=150°-30°=120°．

點(diǎn)評 此題主要考查了軸對稱最短路徑問題，四邊形的內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和，關(guān)鍵是確定E，F(xiàn)的位置．