【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且當(dāng)x=﹣1x3時,y值相等.直線y與拋物線有兩個交點(diǎn),其中一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6,另一個交點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M

(1)求這條拋物線的表達(dá)式.

(2)動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動,同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動,當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一個點(diǎn)立即停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t秒.

①求t的取值范圍.

②若使△BPQ為直角三角形,請求出符合條件的t值;

t為何值時,四邊形ACQP的面積有最小值,最小值是多少?直接寫出答案.

【答案】1;(2)①,②t的值為,③當(dāng)t2時,四邊形ACQP的面積有最小值,最小值是

【解析】

1)求出對稱軸,再求出y=與拋物線的兩個交點(diǎn)坐標(biāo),將其代入拋物線的頂點(diǎn)式即可;

2)①先求出A、BC的坐標(biāo),寫出OB、OC的長度,再求出BC的長度,由運(yùn)動速度即可求出t的取值范圍;

②當(dāng)△BPQ為直角三角形時,只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°兩種情況,分別證△BPQ∽△BOC和△BPQ∽△BCO,即可求出t的值;

③如圖,過點(diǎn)QQHx軸于點(diǎn)H,證△BHQ∽△BOC,求出HQ的長,由公式S四邊形ACQP=SABC-SBPQ可求出含t的四邊形ACQP的面積,通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可寫出結(jié)論.

解:(1)∵在拋物線中,當(dāng)x=﹣1x3時,y值相等,

∴對稱軸為x1,

y與拋物線有兩個交點(diǎn),其中一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6,另一個交點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M,

∴頂點(diǎn)M1),另一交點(diǎn)為(66),

∴可設(shè)拋物線的解析式為yax12

將點(diǎn)(6,6)代入yax12,

6a612,

a,

∴拋物線的解析式為

2)①在中,當(dāng)y0時,x1=﹣2,x24;當(dāng)x0時,y=﹣3,

A(﹣2,0),B4,0),C0,﹣3),

∴在RtOCB中,OB4,OC3,

BC5,

,

4

②當(dāng)△BPQ為直角三角形時,只存在∠BPQ90°或∠PQB90°兩種情況,

當(dāng)∠BPQ90°時,∠BPQ=∠BOC90°,

PQOC,

∴△BPQ∽△BOC,

,即,

t;

當(dāng)∠PQB90°時,∠PQB=∠BOC90°,∠PBQ=∠CBO,

∴△BPQ∽△BCO,

,即,

t

綜上所述,t的值為

③如右圖,過點(diǎn)QQHx軸于點(diǎn)H,

則∠BHQ=∠BOC90°

HQOC,

∴△BHQ∽△BOC,

,即

HQ,

S四邊形ACQPSABCSBPQ

×6×34t×t

t22+

0,

∴當(dāng)t2時,四邊形ACQP的面積有最小值,最小值是

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,已知直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C,并且OAOBCACB,

1)求證:直線AB是⊙O的切線;

2OA,OB分別交⊙O于點(diǎn)D,EAO的延長線交⊙O于點(diǎn)F,若AB4AD,求sinCFE的值.

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【題目】閱讀下列材料:

如圖1.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c,可以得到:

證明:過點(diǎn)AADBC,垂足為D

RtABD中,

同理:

1)通過上述材料證明:

2)運(yùn)用(1)中的結(jié)論解決問題:

如圖2,在中,,求AC的長度.

3)如圖3,為了開發(fā)公路旁的城市荒地,測量人員選擇AB、C三個測量點(diǎn),在B點(diǎn)測得A在北偏東75°方向上,沿筆直公路向正東方向行駛18km到達(dá)C點(diǎn),測得A在北偏西45°方向上,根據(jù)以上信息,求A、B、C三點(diǎn)圍成的三角形的面積.

(本題參考數(shù)值:sin15°≈0.3,sin120°≈0.9,1.4,結(jié)果取整數(shù))

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【題目】為了豐富校園文化生活,提高學(xué)生的綜合素質(zhì),促進(jìn)中學(xué)生全面發(fā)展,學(xué)校開展了多種社團(tuán)活動.小明喜歡的社團(tuán)有:合唱社團(tuán)、足球社團(tuán)、書法社團(tuán)、科技社團(tuán)(分別用字母AB,C,D依次表示這四個社團(tuán)),并把這四個字母分別寫在四張完全相同的不透明的卡片的正面上,然后將這四張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上.

1)小明從中隨機(jī)抽取一張卡片是足球社團(tuán)B的概率是   

2)小明先從中隨機(jī)抽取一張卡片,記錄下卡片上的字母后不放回,再從剩余的卡片中隨機(jī)抽取一張卡片,記錄下卡片上的字母.請你用列表法或畫樹狀圖法求出小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)D的概率.

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1ADBC間的距離是   

2)當(dāng)點(diǎn)PBC上時,求PE的長(用含t的代數(shù)式表示).

3)求St之間的函數(shù)關(guān)系式.

4)直接寫出PE將平行四邊形ABCD的面積分成17兩部分時t的值.

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1求∠CDE的度數(shù);

2求證:DF是⊙O的切線;

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