Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，且當(dāng)x＝﹣1和x＝3時，y值相等．直線y＝與拋物線有兩個交點(diǎn)，其中一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6，另一個交點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M．

(1)求這條拋物線的表達(dá)式．

(2)動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)立即停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．

①求t的取值范圍．

②若使△BPQ為直角三角形，請求出符合條件的t值；

③t為何值時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是多少？直接寫出答案．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②t的值為或，③當(dāng)t＝2時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是．

【解析】

（1）求出對稱軸，再求出y=與拋物線的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線的頂點(diǎn)式即可；

（2）①先求出A、B、C的坐標(biāo)，寫出OB、OC的長度，再求出BC的長度，由運(yùn)動速度即可求出t的取值范圍；

②當(dāng)△BPQ為直角三角形時，只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°兩種情況，分別證△BPQ∽△BOC和△BPQ∽△BCO，即可求出t的值；

③如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，證△BHQ∽△BOC，求出HQ的長，由公式S四邊形ACQP=S△ABC-S△BPQ可求出含t的四邊形ACQP的面積，通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可寫出結(jié)論．

解：（1）∵在拋物線中，當(dāng)x＝﹣1和x＝3時，y值相等，

∴對稱軸為x＝1，

∵y＝與拋物線有兩個交點(diǎn)，其中一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6，另一個交點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M，

∴頂點(diǎn)M（1，），另一交點(diǎn)為（6，6），

∴可設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2，

將點(diǎn)（6，6）代入y＝a（x﹣1）2，

得6＝a（6﹣1）2，

∴a＝，

∴拋物線的解析式為

（2）①在中，當(dāng)y＝0時，x1＝﹣2，x2＝4；當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，

∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3），

∴在Rt△OCB中，OB＝4，OC＝3，

∴BC＝＝5，

∴，

∵＜4，

∴

②當(dāng)△BPQ為直角三角形時，只存在∠BPQ＝90°或∠PQB＝90°兩種情況，

當(dāng)∠BPQ＝90°時，∠BPQ＝∠BOC＝90°，

∴PQ∥OC，

∴△BPQ∽△BOC，

∴，即，

∴t＝；

當(dāng)∠PQB＝90°時，∠PQB＝∠BOC＝90°，∠PBQ＝∠CBO，

∴△BPQ∽△BCO，

∴，即，

∴t＝，

綜上所述，t的值為或；

③如右圖，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，

則∠BHQ＝∠BOC＝90°，

∴HQ∥OC，

∴△BHQ∽△BOC，

∴，即，

∴HQ＝，

∴S四邊形ACQP＝S△ABC﹣S△BPQ

＝×6×3﹣（4﹣t）×t

＝（t﹣2）2+，

∵＞0，

∴當(dāng)t＝2時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是．