【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側(cè)),與y軸交于點C,且當(dāng)x=﹣1和x=3時,y值相等.直線y=與拋物線有兩個交點,其中一個交點的橫坐標(biāo)是6,另一個交點是這條拋物線的頂點M.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式.
(2)動點P從原點O出發(fā),在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動,同時點Q從點B出發(fā),在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向點C運動,當(dāng)一個點到達(dá)終點時,另一個點立即停止運動,設(shè)運動時間為t秒.
①求t的取值范圍.
②若使△BPQ為直角三角形,請求出符合條件的t值;
③t為何值時,四邊形ACQP的面積有最小值,最小值是多少?直接寫出答案.
【答案】(1);(2)①,②t的值為或,③當(dāng)t=2時,四邊形ACQP的面積有最小值,最小值是.
【解析】
(1)求出對稱軸,再求出y=與拋物線的兩個交點坐標(biāo),將其代入拋物線的頂點式即可;
(2)①先求出A、B、C的坐標(biāo),寫出OB、OC的長度,再求出BC的長度,由運動速度即可求出t的取值范圍;
②當(dāng)△BPQ為直角三角形時,只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°兩種情況,分別證△BPQ∽△BOC和△BPQ∽△BCO,即可求出t的值;
③如圖,過點Q作QH⊥x軸于點H,證△BHQ∽△BOC,求出HQ的長,由公式S四邊形ACQP=S△ABC-S△BPQ可求出含t的四邊形ACQP的面積,通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可寫出結(jié)論.
解:(1)∵在拋物線中,當(dāng)x=﹣1和x=3時,y值相等,
∴對稱軸為x=1,
∵y=與拋物線有兩個交點,其中一個交點的橫坐標(biāo)是6,另一個交點是這條拋物線的頂點M,
∴頂點M(1,),另一交點為(6,6),
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2,
將點(6,6)代入y=a(x﹣1)2,
得6=a(6﹣1)2,
∴a=,
∴拋物線的解析式為
(2)①在中,當(dāng)y=0時,x1=﹣2,x2=4;當(dāng)x=0時,y=﹣3,
∴A(﹣2,0),B(4,0),C(0,﹣3),
∴在Rt△OCB中,OB=4,OC=3,
∴BC==5,
∴,
∵<4,
∴
②當(dāng)△BPQ為直角三角形時,只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°兩種情況,
當(dāng)∠BPQ=90°時,∠BPQ=∠BOC=90°,
∴PQ∥OC,
∴△BPQ∽△BOC,
∴,即,
∴t=;
當(dāng)∠PQB=90°時,∠PQB=∠BOC=90°,∠PBQ=∠CBO,
∴△BPQ∽△BCO,
∴,即,
∴t=,
綜上所述,t的值為或;
③如右圖,過點Q作QH⊥x軸于點H,
則∠BHQ=∠BOC=90°,
∴HQ∥OC,
∴△BHQ∽△BOC,
∴,即,
∴HQ=,
∴S四邊形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ
=×6×3﹣(4﹣t)×t
=(t﹣2)2+,
∵>0,
∴當(dāng)t=2時,四邊形ACQP的面積有最小值,最小值是.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線AB經(jīng)過⊙O上的點C,并且OA=OB,CA=CB,
(1)求證:直線AB是⊙O的切線;
(2)OA,OB分別交⊙O于點D,E,AO的延長線交⊙O于點F,若AB=4AD,求sin∠CFE的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)計算:(﹣)﹣2﹣6sin30°﹣(π﹣3.14)0﹣|﹣1|
(2)解不等式組:,并求出所有整數(shù)解之和.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
如圖1.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c,可以得到:
證明:過點A作AD⊥BC,垂足為D.
在Rt△ABD中,
∴
∴
同理:
∴
(1)通過上述材料證明:
(2)運用(1)中的結(jié)論解決問題:
如圖2,在中,,求AC的長度.
(3)如圖3,為了開發(fā)公路旁的城市荒地,測量人員選擇A、B、C三個測量點,在B點測得A在北偏東75°方向上,沿筆直公路向正東方向行駛18km到達(dá)C點,測得A在北偏西45°方向上,根據(jù)以上信息,求A、B、C三點圍成的三角形的面積.
(本題參考數(shù)值:sin15°≈0.3,sin120°≈0.9,≈1.4,結(jié)果取整數(shù))
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了豐富校園文化生活,提高學(xué)生的綜合素質(zhì),促進(jìn)中學(xué)生全面發(fā)展,學(xué)校開展了多種社團(tuán)活動.小明喜歡的社團(tuán)有:合唱社團(tuán)、足球社團(tuán)、書法社團(tuán)、科技社團(tuán)(分別用字母A,B,C,D依次表示這四個社團(tuán)),并把這四個字母分別寫在四張完全相同的不透明的卡片的正面上,然后將這四張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上.
(1)小明從中隨機抽取一張卡片是足球社團(tuán)B的概率是 .
(2)小明先從中隨機抽取一張卡片,記錄下卡片上的字母后不放回,再從剩余的卡片中隨機抽取一張卡片,記錄下卡片上的字母.請你用列表法或畫樹狀圖法求出小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)D的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)已知如圖1,在中,,,點在內(nèi)部,點在外部,滿足,且.求證:.
(2)已知如圖2,在等邊內(nèi)有一點,滿足,,,求的度數(shù).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=3,BC=5,對角線AC⊥AB.點P從點D出發(fā),沿折線DC﹣CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動(不與點B、D重合),過點P作PE⊥AB,交射線BA于點E,連結(jié)BP.設(shè)點P的運動時間為t(秒),△BPE的面積為S(平方單位).
(1)AD與BC間的距離是 .
(2)當(dāng)點P在BC上時,求PE的長(用含t的代數(shù)式表示).
(3)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)直接寫出PE將平行四邊形ABCD的面積分成1:7兩部分時t的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,對角線AC為⊙O的直徑,過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E,點F為CE的中點,連接DB,DC,DF.
(1)求∠CDE的度數(shù);
(2)求證:DF是⊙O的切線;
(3)若AC=2DE,求tan∠ABD的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把邊長為1的正方形ABCD繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB′C′D′,則它們的公共部分的面積等于_____.
[Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2018/4/13/1923101670465536/1923902127538176/STEM/3534c7f6f1a5489684ae6308493b71da.png]
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com