Question

【題目】如圖，已知直線AB經過⊙O上的點C，并且OA＝OB，CA＝CB，

（1）求證：直線AB是⊙O的切線；

（2）OA，OB分別交⊙O于點D，E，AO的延長線交⊙O于點F，若AB＝4AD，求sin∠CFE的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據等腰三角形性質得出OC⊥AB，根據切線的判定得出即可；

（2）連接OC、DC，證△ADC∽△ACF，求出AF=4x，CF=2DC，根據勾股定理求出DC=x，DF=3x，解直角三角形求出sin∠AFC，即可求出答案．

（1）證明：連接OC，如圖1，

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC⊥AB，

∵OC過O，

∴直線AB是⊙O的切線；

（2）解：連接OC、DC，如圖2，

∵AB＝4AD，

∴設AD＝x，則AB＝4x，AC＝BC＝2x，

∵DF為直徑，

∴∠DCF＝90°，

∵OC⊥AB，

∴∠ACO＝∠DCF＝90°，

∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO，

∵OF＝OC，

∴∠AFC＝∠OCF，

∴∠ACD＝∠AFC，

∵∠A＝∠A，

∴△ADC∽△ACF，

∴，

∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC，

∵AD＝x，

∴DF＝4x﹣x＝3x，

在Rt△DCF中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，

解得：DC＝x，

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴∠AOC＝∠BOC，

∴，

∴∠CFE＝∠AFC，

∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝＝．