Question

如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．
（1）求證：△ADE∽△BEF；
（2）設正方形的邊長為8，AE=x，BF=y，求y與x的函數關系式，并求自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由條件可以得出∠A=∠B，∠AED=∠EBF，從而得出△ADE∽△BEF；
（2）由（1）的結論可以得出

AE

BF

=

AD

BE

，然后將AE=x，BF=y的值代入等式就可以表示出y的代數式．自變量的取值范圍為：0＜x＜8．

解答：解：（1）∵ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠EBF=90°，AD=AB，
∴∠ADE+∠DEA=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠FEB=90°，
∴∠ADE=∠FEB，
∴△ADE∽△BEF；
   
（2）∵△ADE∽△BEF，
∴

AE

BF

=

AD

BE

．
∵AD=AB=8，
∴BE=8-x，
∴

x

y

=

8

8-x

∴y=-

1

8

x²+x．
自變量x的取值范圍是（0＜x＜8）．

點評：本題考查了正方形的性質，直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質的運用．