Question

【題目】結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

（1）數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是__________；表示和兩點(diǎn)之間的距離是__________；

（2）如果，那么__________；

（3）若，，且數(shù)、在數(shù)軸上表示的點(diǎn)分別是點(diǎn)、點(diǎn)，則、兩點(diǎn)間的最大距離是_____，最小距離是______；

（4）求代數(shù)式的最小值，并寫出此時(shí)可取哪些整數(shù)值？

（5）求代數(shù)式的最小值．

（6）若表示一個(gè)有理數(shù)，則代數(shù)式有最大值嗎？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3,5；（2）1或-3；（3）12，2；（4）最小值為2，x的整數(shù)值為： -1，0，1；（5）7；（6）4.

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)軸點(diǎn)坐標(biāo)意義，求出兩個(gè)數(shù)的差的絕對值即可；
（2）根據(jù)絕對值的意義解方程即可；
（3）根據(jù)絕對值分別求出a，b的值，再分別討論，即可求出最大值和最小值.
（4）求的最小值，即找一點(diǎn)到坐標(biāo)為-1和1的點(diǎn)距離和最小.由線段的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，可知當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，有最小值，從而可求得最小值，利用數(shù)軸即可找到此時(shí)x可取的整數(shù)值．

（5）可以用數(shù)形結(jié)合來解題：為數(shù)軸上的一點(diǎn)，表示：點(diǎn)到數(shù)軸上的3個(gè)點(diǎn)-2、3、5的距離之和，進(jìn)而分析得出最小值．

（6）可化為，當(dāng)取最小值時(shí)，取最大值，結(jié)合（4）可知當(dāng)3≤x≤5時(shí)，式子取最大值.

解：（1）∵，，

∴數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是3；表示和兩點(diǎn)之間的距離是5；

故答案為：3；5.

（2）∵，

∴，

∴解得x=1或-3，

故答案為：1或-3.

（3）∵|a-3|=4，|b+2|=3，
∴a=7或-1，b=1或b=-5，
當(dāng)a=7，b=-5時(shí)，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是12，
當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，則A、B兩點(diǎn)間的最小距離是2，
則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是12，最小距離是2；

故答案為12；2.

（4）根據(jù)題意可知，|x+1|+|x-1|有最小值即是x到1的距離與到1的距離之和最小,那么x應(yīng)在1和3之間的線段上．

即當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，|x+1|+|x-1|有最小值．
∴|x+1|=x+1，|x-1|=1-x，
∴|x+3|+|x-4|=x+1+1-x=2；
由數(shù)軸可知，-1≤x≤1，x的整數(shù)值為： -1，0，1．

∴|x+1|+|x-1|的最小值為2，此時(shí)可取的整數(shù)值為： -1，0，1．

（5）∵表示：點(diǎn)到數(shù)軸上的3個(gè)點(diǎn)-2、3、5的距離之和，即當(dāng)x在中間點(diǎn)3時(shí)，距離之和最小.

∴當(dāng)x=3時(shí)，代數(shù)式有最小值，

最小值==7．

故代數(shù)式的最小值是7．

（6）∵=，

∴當(dāng)取最小值時(shí)，取最大值，

∴由題可知，當(dāng)3≤x≤5時(shí)，取最大值，

當(dāng)3≤x≤5時(shí)，

，

=，

=8-2x+6+2x-10

=4，

故當(dāng)3≤x≤5時(shí)，取最大值為4，