Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A(4,1)與正比例函數(shù)()的圖象相交于點(diǎn)B(,3)，與軸相交于點(diǎn)C.

（1）求一次函數(shù)和正比例函數(shù)的表達(dá)式;

（2）若點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)DE∥AC交BO于E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使.若存在請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）一次函數(shù)表達(dá)式為：；正比例函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）E（－2，－3）；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（0，2）或（0，－2）.

【解析】

（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入可求出一次函數(shù)解析式，然后可求點(diǎn)B坐標(biāo)，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入即可求出正比例函數(shù)的解析式；

（2）首先求出點(diǎn)D坐標(biāo)，根據(jù)DE∥AC設(shè)直線(xiàn)DE解析式為：，代入點(diǎn)D坐標(biāo)即可求出直線(xiàn)DE解析式，聯(lián)立直線(xiàn)DE解析式和正比例函數(shù)解析式即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）首先求出△ABO的面積，然后分點(diǎn)P在x軸和點(diǎn)P在y軸兩種情況討論，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)列出方程求解即可.

解：（1）將點(diǎn)A(4，1)代入得，

解得：b=5，

∴一次函數(shù)解析式為：，

當(dāng)y=3時(shí)，即，

解得：，

∴B(2，3)，

將B(2，3)代入得：，

解得：，

∴正比例函數(shù)的表達(dá)式為：；

（2）∵一次函數(shù)解析式為：，

∴C（0，5），

∴D（0，－5），

∵DE∥AC，

∴設(shè)直線(xiàn)DE解析式為：，

將點(diǎn)D代入得：，

∴直線(xiàn)DE解析式為：，

聯(lián)立，解得：，

∴E（－2，－3）；

（3）設(shè)直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)F，

令y=0，解得：x=5，

∴F（5，0），

∵A（4，1），B（2，3），

∴，

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），

由題意得：，

解得：，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）；

當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），

由題意得：，

解得：，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）或（0，－2），

綜上所示：P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（0，2）或（0，－2）.