【題目】已知在矩形ABCD中,∠ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點(diǎn)E,點(diǎn)P是線段DE上一定點(diǎn)(其中EP<PD)
(1)如圖1,若點(diǎn)F在CD邊上(不與D重合),將∠DPF繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點(diǎn)H、G.
①求證:PG=PF;
②探究:DF、DG、DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(2)拓展:如圖2,若點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上(不與D重合),過(guò)點(diǎn)P作PG⊥PF,交射線DA于點(diǎn)G,你認(rèn)為(1)中DE、DG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,給出證明;若不成立,請(qǐng)寫(xiě)出它們所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)①證明見(jiàn)解析;②DG+DF=DP;(2)不成立,數(shù)量關(guān)系式應(yīng)為:DG﹣DF=DP.
【解析】試題分析:(1)①若證PG=PF,可證△HPG≌△DPF,已知∠DPH=∠HPG,由旋轉(zhuǎn)可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD為等腰直角三角形,即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH,即可得證;
②由△HPD為等腰直角三角形,△HPG≌△DPF知HD=DP,HG=DF,根據(jù)DG+DF=DG+GH=DH即可得;
試題解析:(2)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥PD交射線DA于點(diǎn)H,先證△HPD為等腰直角三角形可得PH=PD,HD=DP,再證△HPG≌△DPF可得HG=DF,根據(jù)DH=DG-HG=DG-DF可得DG-DF=DP.
(1)①∵∠GPF=∠HPD=90°,∠ADC=90°,
∴∠GPH=∠FPD,
∵DE平分∠ADC,
∴∠PDF=∠ADP=45°,
∴△HPD為等腰直角三角形,
∴∠DHP=∠PDF=45°,
在△HPG和△DPF中,
∵,
∴△HPG≌△DPF(ASA),
∴PG=PF;
②結(jié)論:DG+DF=DP,
由①知,△HPD為等腰直角三角形,△HPG≌△DPF,
∴HD=DP,HG=DF,
∴HD=HG+DG=DF+DG,
∴DG+DF=DP;
(2)不成立,數(shù)量關(guān)系式應(yīng)為:DG-DF=DP,
如圖,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥PD交射線DA于點(diǎn)H,
∵PF⊥PG,
∴∠GPF=∠HPD=90°,
∴∠GPH=∠FPD,
∵DE平分∠ADC,且在矩形ABCD中,∠ADC=90°,
∴∠HDP=∠EDC=45°,得到△HPD為等腰直角三角形,
∴∠DHP=∠EDC=45°,且PH=PD,HD=DP,
∴∠GHP=∠FDP=180°-45°=135°,
在△HPG和△DPF中,
∵
∴△HPG≌△DPF,
∴HG=DF,
∴DH=DG-HG=DG-DF,
∴DG-DF=DP.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AC與BD交于O點(diǎn),BE⊥AC于E,CF⊥BD于F.
求證:
(1)∠ACB=∠DBC;
(2)BE=CF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商店第一次用300元購(gòu)進(jìn)筆記本若干,第二次又用300元購(gòu)進(jìn)該款筆記本,但這次每本的進(jìn)價(jià)是第一次進(jìn)價(jià)的倍,購(gòu)進(jìn)數(shù)量比第一次少了25本.
(1)求第一次每本筆記本的進(jìn)價(jià)是多少元?
(2)若要求這兩次購(gòu)進(jìn)的筆記本按同一價(jià)格全部銷(xiāo)售完畢后獲利不低于450元,問(wèn)每本筆記本的售價(jià)至少是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知⊙O的半徑為2,直線l上有一點(diǎn)P滿(mǎn)足PO=2,則直線l與⊙O的位置關(guān)系是( )
A.相切
B.相離
C.相離或相切
D.相切或相交
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】建筑工人砌墻時(shí),經(jīng)常用細(xì)繩在墻的兩端之間拉一條參照線,使砌的每一層磚在一條直線上,這樣做所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y=(1﹣2m)x+m﹣1,若函數(shù)y隨x的增大而減小,并且函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限,求m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若兩個(gè)相似三角形的面積之比為1∶4,則它們的周長(zhǎng)之比為( )
A.1∶2B.1∶4C.1∶5D.1∶16
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【題目】點(diǎn)A(-4,-5),點(diǎn)B(-6,-5),則AB等于( )
A. 4 B. 2 C. 5 D. 3
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