【題目】已知在矩形ABCD中,∠ADC的平分線DEBC邊所在的直線交于點(diǎn)E,點(diǎn)P是線段DE上一定點(diǎn)(其中EPPD

1)如圖1,若點(diǎn)FCD邊上(不與D重合),將∠DPF繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點(diǎn)H、G

①求證:PG=PF;

②探究:DFDG、DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

2)拓展:如圖2,若點(diǎn)FCD的延長(zhǎng)線上(不與D重合),過(guò)點(diǎn)PPGPF,交射線DA于點(diǎn)G,你認(rèn)為(1)中DE、DG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,給出證明;若不成立,請(qǐng)寫(xiě)出它們所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式,并說(shuō)明理由.

【答案】(1)①證明見(jiàn)解析;②DG+DF=DP;(2)不成立,數(shù)量關(guān)系式應(yīng)為:DGDF=DP

【解析】試題分析:(1)①若證PG=PF,可證△HPG≌△DPF,已知∠DPH=∠HPG,由旋轉(zhuǎn)可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD為等腰直角三角形,即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH,即可得證;

②由△HPD為等腰直角三角形,△HPG≌△DPF知HD=DP,HG=DF,根據(jù)DG+DF=DG+GH=DH即可得;

試題解析:(2)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥PD交射線DA于點(diǎn)H,先證△HPD為等腰直角三角形可得PH=PD,HD=DP,再證△HPG≌△DPF可得HG=DF,根據(jù)DH=DG-HG=DG-DF可得DG-DF=DP.

(1)①∵∠GPF=∠HPD=90°,∠ADC=90°,

∴∠GPH=∠FPD,

∵DE平分∠ADC,

∴∠PDF=∠ADP=45°,

∴△HPD為等腰直角三角形,

∴∠DHP=∠PDF=45°,

在△HPG和△DPF中,

,

∴△HPG≌△DPF(ASA),

∴PG=PF;

②結(jié)論:DG+DF=DP,

由①知,△HPD為等腰直角三角形,△HPG≌△DPF,

∴HD=DP,HG=DF,

∴HD=HG+DG=DF+DG,

∴DG+DF=DP;

(2)不成立,數(shù)量關(guān)系式應(yīng)為:DG-DF=DP,

如圖,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥PD交射線DA于點(diǎn)H,

∵PF⊥PG,

∴∠GPF=∠HPD=90°,

∴∠GPH=∠FPD,

∵DE平分∠ADC,且在矩形ABCD中,∠ADC=90°,

∴∠HDP=∠EDC=45°,得到△HPD為等腰直角三角形,

∴∠DHP=∠EDC=45°,且PH=PD,HD=DP,

∴∠GHP=∠FDP=180°-45°=135°,

在△HPG和△DPF中,

∴△HPG≌△DPF,

∴HG=DF,

∴DH=DG-HG=DG-DF,

∴DG-DF=DP.

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