Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在直線BC上，∠DAE=45°，
（1）寫出圖中的相似三角形；
（2）求證：BE•CD=2S_△ABC，并探究BD、DE、CE之間的數(shù)量關系，給以證明．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質就可以得出∠B=∠C=45°，就可以得出∠B=∠C=∠DAE，由∠AEB=∠C+∠CAE，∠DAC=∠DAE+∠CAE而得出∠AEB=∠DAC，就可以得出△BEA∽△CAD；
（2）根據(jù)△BEA∽△CAD就可以得出

BE

CA

=

BA

CD

，將△ACE繞點A順時針旋轉90°使點C與點B重合得到△ABF，連接DF，證明△ADE≌△ADF就可以得出DE=DF，由勾股定理就可以得出BD²+CE²=DE²．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠DAE=45°，
∴∠B=∠C=∠DAE．
∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠DAC=∠DAE+∠CAE，
∴∠AEB=∠DAC，
∵∠B=∠C，
∴△BEA∽△CAD；
（2）DE²=BD²+CE²．
理由：∵△BEA∽△CAD，
∴

BE

CA

=

BA

CD

，
∴BE•CD=CA．BA．
∵S_△ABC=

AB•AC

2

，
∴2S_△ABC=CA．BA．
∴BE•CD=2S_△ABC．
將△ACE繞點A順時針旋轉90°使點C與點B重合得到△ABF，連接DF，
∴△ACE≌△ABF，
∴CE=FB，∠C=∠ABF，∠CAE=∠BAF．AE=AF．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠BAD+∠BAF=∠FAD=45°，
∴∠DAE=∠DAF．
在△ADE和△ADF中

DA=DA ∠DAE=∠DAF AE=AF

，
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF．
∵∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC+∠ABF=∠DBF=90°．
在Rt△DBF中由勾股定理，得
DF²=BD²+BF²．
∴DE²=BD²+CE²．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，解答時證明三角形相似是關鍵，證明三角形全等是難點．