Question

20．在圖1、圖2、圖3中，直線MN與線段AB的延長線或AB交于點O，點C和點D在直線MN上，且∠ACM=∠BDM=45°．
（1）在圖1中，點O在AB的延長線上，且AO=3BO，請直接寫出AC與BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；
（2）在圖2中，點O在AB上，且AO=BO，寫出AC與BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并證明．
（3）在圖3中，點O在AB上，且AO=kBO，求$\frac{AC}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由∠ACM=∠BDM=45°得出BD∥AC，得出△ACO∽△BEO，利用對應(yīng)邊成比例得出答案即可；
（2）過B作BE⊥BD交OD于點E，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BED=45°，根據(jù)鄰補角的定義得到∠OEB=∠ACO=135°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）過點B作BE∥CA交DO于E，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BEO=∠ACO．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AC}{BE}$=$\frac{AO}{BO}$．根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠ACM=∠BDM=45°，
∴BD∥AC，
∴△ACO∽△BEO，
∴$\frac{OB}{AO}$=$\frac{BD}{AC}$，
又∵AO=3BO，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
即AC=3BD；

（2）過B作BE⊥BD交OD于點E，
∵∠ACM=∠BDM=45°，BE⊥BD，
∴∠BED=∠BDM=45°，
∴BE=BD，∠OEB=∠ACO=135°，
∴AC∥BE，
∵BE⊥BD，
∴AC⊥BD，
在△ACO和△BEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠BEO}\\{∠AOC=∠BOE}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△BEO，（AAS）
∴AC=BE，
∴AC=BD；
延長AC交DB的延長線于F，如圖2，
∵BE∥AC，
∴∠AFD=90°．
∴AC⊥BD；

（3）如圖3，過點B作BE∥CA交DO于E，
∴∠BEO=∠ACO．
又∵∠BOE=∠AOC，
∴△BOE∽△AOC．
∴$\frac{AC}{BE}$=$\frac{AO}{BO}$．
又∵AO=kBO，
由（2）的方法易得 BE=BD，
∴$\frac{AC}{BD}=k$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，掌握判定方法是解決問題的關(guān)鍵．