Question

8．如圖，已知⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°
（1）當點P位于$\widehat{AB}$的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？并求出最大面積；
（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）過點P作PE⊥AB，垂足為E，過點C作CF⊥AB，垂足為F，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積進行計算，當點P為$\widehat{AB}$的中點時，PE+CF=PC從而得出最大面積；
（2）在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得．

解答 解：（1）當點P為$\widehat{AB}$的中點時，四邊形APBC的面積最大．
理由如下，如圖2，過點P作PE⊥AB，垂足為E．
過點C作CF⊥AB，垂足為F．
∵S_△APB=$\frac{1}{2}$AB•PE，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CF，
∴S_{四邊形APBC}=$\frac{1}{2}$AB•（PE+CF），
當點P為$\widehat{AB}$的中點時，PE+CF=PC，PC為⊙O的直徑，
∴此時四邊形APBC的面積最大．
又∵⊙O的半徑為1，
∴其內(nèi)接正三角形的邊長AB=$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形APBC}=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；

（2）在PC上截取PD=AP，如圖1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠ADC}\\{∠ABP=∠ACD}\\{AP=AD}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．

點評 本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式以及三角形的全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，證明△APB≌△ADC是關鍵．