Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，∠C和∠D的平分線交于M，DM的延長(zhǎng)線交AD于E，試猜想:

（1）CM與DE的位置關(guān)系？

（2）M在DE的什么位置上？并證明你的猜想.

Answer 1

【答案】(1) CM⊥DE；（2）M為ED的中點(diǎn)，見解析.

【解析】

（1）CM⊥DE，由平行四邊形ABCD得AD∥BC，∠ADC+∠BCD=180°，結(jié)合角平分線可得∠MDC+∠MCD=90°，即可得結(jié)論；

（2）由平行線的性質(zhì)得∠ADE=∠CEM，結(jié)合角平分線可得∠CDE=∠CED，可證出△ECD是等腰三角形，利用等腰三角形三線合一可得CM是中線，則M為ED的中點(diǎn).

(1) CM⊥DE

∵ AD∥BC

∴∠ADC+∠BCD=180°

∵DE,CM分別平分∠ADC, ∠BCD

∴∠MDC+∠MCD=90°

∴CM⊥DE

(2)M為ED的中點(diǎn)

∵AD∥BC

∴∠ADE=∠CEM

∵∠ADE=∠CDE

∴∠CDE=∠CED

∴CD=CE

∵CM⊥DE，

∴EM=MD，即M為ED的中點(diǎn).

故答案為：(1) CM⊥DE；（2）M為ED的中點(diǎn)，見解析.