【題目】定義:若拋物線與拋物線的開口大小相同,方向相反,且拋物線經(jīng)過的頂點,我們稱拋物線的“友好拋物線”.

1)若的表達(dá)式為,求的“友好拋物線”的表達(dá)式;

2)已知拋物線的“友好拋物線”.求證:拋物線也是的“友好拋物線”;

3)平面上有點,拋物線的“友好拋物線”,且拋物線的頂點在第一象限,縱坐標(biāo)為2,當(dāng)拋物線與線段沒有公共點時,求的取值范圍.

【答案】1的“友好拋物線”為:;(2)見解析;(3.

【解析】

1)設(shè)的“友好拋物線”的表達(dá)式為:,根據(jù)可得其頂點坐標(biāo),代入可得的值,進(jìn)而得出的“友好拋物線”;

2)先求出拋物線的頂點坐標(biāo),根據(jù)的頂點,得出,進(jìn)而得到拋物線經(jīng)過的頂點,再根據(jù)的開口大小相同,方向相反,即可得出拋物線也是的“友好拋物線”;

3)根據(jù)“友好拋物線”的定義,得到,進(jìn)而得到的頂點為

根據(jù)拋物線的頂點在第一象限,縱坐標(biāo)為2,可得

再根據(jù)經(jīng)過點,得到.根據(jù)經(jīng)過點,得到

進(jìn)而得出拋物線與線段沒有公共點時,的取值范圍.

解:(1)依題意,可設(shè)的“友好拋物線”的表達(dá)式為:,

,

的頂點為

過點,

,即

的“友好拋物線”為:

2的頂點為

的頂點為,

的“友好拋物線”,

的頂點,

化簡得:

代入,得

∴拋物線經(jīng)過的頂點.

又∵的開口大小相同,方向相反,

∴拋物線也是的“友好拋物線”.

3)∵拋物線的“友好拋物線”,

的頂點為

∵拋物線的頂點在第一象限,縱坐標(biāo)為2

,即

當(dāng)經(jīng)過點時,

當(dāng)經(jīng)過點時,,

由此可知:時,拋物線與線段有公共點,

∴拋物線與線段沒有公共點時,

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