【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,某學(xué)習(xí)小組對(duì)有一內(nèi)角為120°的平行四邊形ABCD(∠BAD=120°)進(jìn)行探究:將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),且60°角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合,較短的直角邊和斜邊所在的兩直線(xiàn)分別交線(xiàn)段AB,AD于點(diǎn)E,F(xiàn)(不包括線(xiàn)段的端點(diǎn)).
(1)初步嘗試
如圖1,若AD=AB,求證:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;
(2)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)
如圖2,若AD=2AB,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H,求證:AE=2FH;
(3)深入探究
如圖3,若AD=3AB,探究得:的值為常數(shù)t,則t= .
【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析;(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析;(3)t=
【解析】
試題分析:(1)①先證明△ABC,△ACD都是等邊三角形,再證明∠BCE=∠ACF即可解決問(wèn)題.②根據(jù)①的結(jié)論得到BE=AF,由此即可證明.(2)設(shè)DH=x,由由題意,CD=2x,CH=x,由△ACE∽△HCF,得=由此即可證明;(3)如圖3中,作CN⊥AD于N,CM⊥BA于M,CM與AD交于點(diǎn)H.先證明△CFN∽△CEM,得=,由ABCM=ADCN,AD=3AB,推出CM=3CN,所以==,設(shè)CN=a,F(xiàn)N=b,則CM=3a,EM=3b,想辦法求出AC,AE+3AF即可解決問(wèn)題.
試題解析:(1)①∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠BAD=120°, ∴∠D=∠B=60°, ∵AD=AB,
∴△ABC,△ACD都是等邊三角形, ∴∠B=∠CAD=60°,∠ACB=60°,BC=AC, ∵∠ECF=60°,
∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°, ∴∠BCE=∠ACF,
在△BCE和△ACF中, ∴△BCE≌△ACF.
②∵△BCE≌△ACF, ∴BE=AF, ∴AE+AF=AE+BE=AB=AC.
(2)設(shè)DH=x,由由題意,CD=2x,CH=x, ∴AD=2AB=4x, ∴AH=AD﹣DH=3x, ∵CH⊥AD,
∴AC==2x, ∴AC2+CD2=AD2, ∴∠ACD=90°, ∴∠BAC=∠ACD=90°, ∴∠CAD=30°,
∴∠ACH=60°, ∵∠ECF=60°, ∴∠HCF=∠ACE, ∴△ACE∽△HCF, ∴==2, ∴AE=2FH.
(3)如圖3中,作CN⊥AD于N,CM⊥BA于M,CM與AD交于點(diǎn)H. ∵∠ECF+∠EAF=180°,
∴∠AEC+∠AFC=180°, ∵∠AFC+∠CFN=180°, ∴∠CFN=∠AEC,∵∠M=∠CNF=90°, ∴△CFN∽△CEM,
∴=, ∵ABCM=ADCN,AD=3AB, ∴CM=3CN, ∴==,設(shè)CN=a,F(xiàn)N=b,則CM=3a,EM=3b,
∵∠MAH=60°,∠M=90°, ∴∠AHM=∠CHN=30°, ∴HC=2a,HM=a,HN=a,
∴AM=a,AH=a, ∴AC==a,
AE+3AF=(EM﹣AM)+3(AH+HN﹣FN)=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM=a, ∴==.
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進(jìn)球數(shù)(個(gè)) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 7 |
人數(shù)(人) | 1 | 1 | 4 | 2 | 3 | 1 |
A. 3.75B. 3C. 3.5D. 7
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A. 9 B. 8 C. 7 D. 4
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(1)求a的值;
(2)當(dāng)x=1時(shí),求y的值.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(1﹣k)x2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的最大整數(shù)值是_____.
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