【題目】如圖,直線l:y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,拋物線y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)經(jīng)過點B.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)已知點M是拋物線上的一個動點,并且點M在第一象限內(nèi),連接AM、BM,設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m,△ABM的面積為S,求S與m的函數(shù)表達(dá)式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取得最大值時,動點M相應(yīng)的位置記為點M′.
①寫出點M′的坐標(biāo);
②將直線l繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l′,當(dāng)直線l′與直線AM′重合時停止旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,直線l′與線段BM′交于點C,設(shè)點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2,當(dāng)d1+d2最大時,求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度(即∠BAC的度數(shù)).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)S=-m2+m,最大值為;(3)①(,),②45°.
【解析】
試題分析:(1)先求出B點坐標(biāo),再把B點坐標(biāo)代入即可求二次函數(shù)解析式;(2)根據(jù)M的位置可確定0<m<3,過點M作ME⊥y軸于點E,交AB于點D,可設(shè)M的坐標(biāo)為(m,﹣m2+2m+3),用含m的式子表示DM,然后求出S與m的函數(shù)關(guān)系式,最大值也可求出.(3)①把m=代入二次函數(shù)解析式,可求出M′的坐標(biāo),②過點M′作直線l1∥l′,過點B作BF⊥l1于點F,則BF=d1+d2,當(dāng)BF最大時可求出旋轉(zhuǎn)角.
試題解析: (1)令x=0代入y=﹣3x+3,∴y=3,∴B(0,3),把B(0,3)代入y=ax2﹣2ax+a+4,∴3=a+4,
∴a=﹣1,∴二次函數(shù)解析式為:y=﹣x2+2x+3;(2)當(dāng)y=0時,0=﹣x2+2x+3,∴x=﹣1或3,∴拋物線與x軸的交點橫坐標(biāo)為﹣1和3,∴0<m<3,過點M作ME⊥y軸于點E,交AB于點D,由題意知:M的坐標(biāo)為(m,﹣m2+2m+3),∴D的縱坐標(biāo)為:﹣m2+2m+3,∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3,∴x=,∴D的坐標(biāo)為(,﹣m2+2m+3),∴DM=m﹣=,∴S=DMOB=××3=-m2+m=-(m-)2+,S最大值為;(3)①由(2)可知:M′的坐標(biāo)為(,);②過點M′作直線l1∥l′,過點B作BF⊥l1于點F根據(jù)題意知:d1+d2=BF,∵∠BFM′=90°,∴點F在以BM′為直徑的圓上,設(shè)直線AM′與該圓相交于點H,∵點C在線段BM′上,∴F在優(yōu)弧BM′H上,∴當(dāng)F與M′重合時,BF可取得最大值,此時BM′⊥l1,∵A(1,0),B(0,3),M′(,),∴由勾股定理可求得:AB=,M′B=,M′A=,過點M′作M′G⊥AB于點G,設(shè)BG=x,∴由勾股定理可得:M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2,∴ ﹣(﹣x)2=﹣x2,∴x=,
cos∠M′BG= ,∵l1∥l′,∴∠BCA=90°,∠BAC=45°.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=a(x﹣1)2﹣3(a≠0)的圖象與y軸交于點A(0,﹣2),頂點為B.
(1)試確定a的值,并寫出B點的坐標(biāo);
(2)若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B兩點,試寫出一次函數(shù)的解析式;
(3)試在x軸上求一點P,使得△PAB的周長取最小值;
(4)若將拋物線平移m(m≠0)個單位,所得新拋物線的頂點記作C,與原拋物線的交點記作D,問:點O、C、D能否在同一條直線上?若能,請求出m的值;若不能,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將拋物線y=4x2向右平移1個單位,再向上平移3個單位,得到的拋物線是( )
A.y=4(x+1)2+3
B.y=4(x﹣1)2+3
C.y=4(x+1)2﹣3
D.y=4(x﹣1)2﹣3
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將一張等邊三角形紙片沿各邊中點剪成4個小三角形,稱為第一次操作;然后將其中的一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形,共得到7個小三角形,稱為第二次操作;再將其中一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形,共得到10個小三角形,稱為第三次操作;……,根據(jù)以上操作,若要得到100個小三角形,則需要操作的次數(shù)是( )
A. 25 B. 33 C. 34 D. 50
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是( ).
A. 對角線互相垂直 B. 對角線互相平分
C. 對角線相等 D. 對角線平分一組對角
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為幫助災(zāi)區(qū)人民重建家園,某校學(xué)生積極捐款.已知第一次捐款總額為9000元,第二次捐款總額為12000元,兩次人均捐款額相等,但第二次捐款人數(shù)比第一次多50人.求該校第二次捐款的人數(shù).
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com