Question

已知二次函數(shù)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

    (1)如圖①，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O'恰好落在該拋物線的對(duì)稱軸上，求實(shí)數(shù)a的值；

    (2)如圖②，在正方形EFGH中，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（4，4）、（4，3），邊HG位于邊EF的右側(cè)．若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，求證四條線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形；

    (3)如圖②，正方形EFGH向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，正方形EFGH上是否存在一點(diǎn)P（包括正方形的邊界），使得四條線段PA、PB、PC、PD能夠構(gòu)成平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）不能構(gòu)成平行四邊形。理由見(jiàn)解析（3）

【解析】解：（1）令y=0，由a（x²-6x+8）=0解得x₁=2，x₂=4；

令x=0，解得y=8a

∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（2，0）、（4，0）、（0，8a），該拋物線對(duì)稱軸為直線x=3

∴OA=2

如圖①設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為M，則AM=1

由題意得=OA=2

∴=2AM，∴∠ =60°

∴∠OAC=∠ =60°

∴OC=·AO=2，即8a=2，∴a=.    …………………………（3分）

（2）若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，結(jié)果同樣成立.

（I）如圖②

設(shè)P是邊EF上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），連接PM.

∵點(diǎn)E（4，4）、F（4，3）與點(diǎn)B（4，0）在一直線上，點(diǎn)C在y軸上，

∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB.

又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，

∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形. …………………………（3分）

（II）設(shè)P是邊FG上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)G重合），

點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4，3）點(diǎn)G的坐標(biāo)是（5，3）.

∴FB=3，GB=，∴3≤PB＜，

∵PC≥4，∴PC＞PB

又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，

∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形. …………………………（3分）

（3）

（1）令y=0，解得x₁=2，x₂=4，令x=0，解得y=8a,得出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，求得該拋物線對(duì)稱軸為直線x=3，再根據(jù)∠OAC==60°得出AO ,從而求出a

（2）分兩種情況進(jìn)行討論，一種設(shè)P是邊EF上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合）可得PC＞PB. 從而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形；同理，另一種設(shè)P是邊FG上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)G重合），也可求出線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形；

（3）先求出PA=PB,再由PC=PD,列出關(guān)于t與a的方程，從而求出a的值，即可求出答案