Question

如圖，拋物線y=ax²-bx-2交x軸于A（-1，0）、B（4，0），交y軸于點(diǎn)C；
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D是線段AB上一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE∥AC交拋物線于M，交y軸于N，若CM=AN，求D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）將拋物線沿x軸的正方向平移，交原拋物線于點(diǎn)P，點(diǎn)Q在x軸上，問(wèn)是否存在點(diǎn)Q使△CPQ是以PC為斜邊的等腰直角三角形？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，有：
，解得
∴拋物線的解析式：y=x²-x-2．

（2）由（1）的拋物線知：A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-2），
∴OA=1，OC=2，AC==；
直線AC：y=-2x-2．
通過(guò)圖示可看出，當(dāng)點(diǎn)M位于y軸右側(cè)時(shí)，CM＞AN，所以點(diǎn)M必在y軸右側(cè)；
①當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，如圖①；
此時(shí)，四邊形ACMN是等腰梯形，則有：
∠MAC=∠NCA，tan∠MAC=tan∠NCA=；
過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC于G，設(shè)FG=x，有：AG=GC=2x，AF=CF=x；
∵AC=AG+GC=4x=，x=，F(xiàn)C=x=，
∴OF=OC-FC=2-=，F(xiàn)（0，-）；
∴直線AF：y=-x-，聯(lián)立拋物線的解析式有：
，解得（舍）、
∴M（，-）
由于直線MN∥AC，設(shè)直線MN：y=-2x+h，則有：
-5+h=-，h=
∴直線MN：y=-2x+，則D（，0）；
②當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，如圖②，此時(shí)四邊形ACMN是平行四邊形；
∵點(diǎn)A、M關(guān)于CN的中點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 1，則M（1，-3）；
同①可求得直線MN：y=-2x-1，得 D（-，0）；
綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）或（-，0）．

（3）由題意知：點(diǎn)P、Q都在y軸的右側(cè)，可設(shè)Q（x，0）（x＞0），過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H；
分兩種情況討論：
①點(diǎn)Q在點(diǎn)C、P之間，如圖①；
∵△CPQ是等腰直角三角形，且CP是底邊，
∴∠CQP=90°，CQ=QP；
∵
∴△CQO≌△QPH，則：PH=OQ=x，QH=OC=2，OH=OQ+QH=x+2
∴點(diǎn)P可表示為（x+2，-x），代入拋物線解析式有：
-x=（x+2）²-（x+2）-2，解得 x=（負(fù)值舍去）
∴Q₁（，0）；
②點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)時(shí)，如圖②；
同①可證得：△OCQ≌△HQP，∴HQ=CO=2，PH=OQ=x，OH=OQ-HQ=x-2，則 P（x-2，x）；
代入拋物線解析式，有：
x=（x-2）²-（x-2）-2，解得 x₁=、x₂=（舍，因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)P在y軸右側(cè)）
∴Q₂（，0）；
綜上，存在符合條件的點(diǎn)Q，且坐標(biāo)為（，0）、（，0）．
分析：（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可．
（2）直線DE與拋物線的交點(diǎn)有兩個(gè)，通過(guò)觀察圖可看出，點(diǎn)M在y軸右側(cè)時(shí)，一定不符合CM=AN的條件，所以只考慮點(diǎn)M在y軸右側(cè)的情況：
①當(dāng)點(diǎn)N在y軸上方時(shí)，MN∥AC，且AN=CM，顯然四邊形ACMN是等腰梯形，那么∠CAM=∠ACN，可過(guò)AM與y軸的交點(diǎn)作線段AC的垂線，在構(gòu)建的兩個(gè)小直角三角形中求出這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而能求出直線AM的解析式，聯(lián)立拋物線解析式即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，而直線MN與直線AC平行，那么它們的斜率相同，可根據(jù)這個(gè)條件先設(shè)出直線MN的解析式，代入點(diǎn)M的坐標(biāo)后，進(jìn)一步能求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)N在y軸下方時(shí)，顯然四邊形ACMN是平行四邊形，那么點(diǎn)A、M的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)（由于CN在y軸上，而A、M關(guān)于CN的中點(diǎn)對(duì)稱），可先將點(diǎn)M的橫坐標(biāo)代入拋物線解析式中確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后按①的思路求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）由于拋物線向x軸正方形平移，那么點(diǎn)P必在y軸右側(cè)，若△CPQ是以CP為斜邊的等腰直角三角形，那么點(diǎn)Q必須在x軸正半軸上，然后分兩種情況討論：
①點(diǎn)Q在點(diǎn)C、P之間時(shí)；②點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)時(shí)；
解題思路相同，先設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建的全等三角形（這里要用到等腰直角三角形的頂角為90°以及腰相等這兩個(gè)條件），先表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)（用點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)來(lái)表示），代入拋物線解析式后，即可確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、特殊四邊形的判定和性質(zhì)、相似三角形與全等三角形的應(yīng)用等重點(diǎn)知識(shí)；這道題的思路和解答過(guò)程相等復(fù)雜，需要輔以圖形來(lái)解答題目，在作圖時(shí)，可以將與所做小題無(wú)關(guān)的圖形去掉，這樣可以更直觀的看出線段、圖形間的位置、數(shù)量關(guān)系．另外，后兩題涉及的情況較多，一定要注意分類討論．