【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC為半徑作⊙B,交AB于點D,交AB的延長線于點E,連接CD、CE.
(1)求證:△ACD∽△AEC;
(2)當(dāng) = 時,求tanE;
(3)若AD=4,AC=4 ,求△ACE的面積.

【答案】
(1)證明:∵DE為直徑,

∴∠DCE=90°,即∠2+∠DCB=90°,

∵∠ACB=90°,即∠1+∠DCB=90°,

∴∠1=∠2,

而∠CAD=∠EAC,

∴△ACD∽△AEC


(2)解:由 = ,設(shè)AC=4k,則BC=3k,

∴BD=BE=3k,

∴AB= =5k,

∴AE=AB+BE=5k+3k=8k,

在Rt△CDE中,tanE= ,

∵△ACD∽△AEC,

= = =

∴tanE=


(3)作CH⊥AE于H,如圖,

∵△ACD∽△AEC,

= = ,即 = = ,解得AE=12,CE= CD,

∴DE=AE﹣AC=8,

在Rt△CDE中,∵tanE= = = ,

∴∠E=30°,

∴CD= DE=4,CE=4 ,

在Rt△CHE中,CH= CE=2 ,

∴△ACE的面積= ×12×2 =12


【解析】(1)利用圓周角定理得到∠DCE=90°,而∠ACB=90°,則∠1=∠2,加上公共角,則可判斷△ACD∽△AEC;(2)利用由 = 設(shè)AC=4k,BC=3k,由勾股定理計算出AB=5k,則AE=8k,再由△ACD∽△AEC,利用相似比得到 = = ,然后根據(jù)正切的定義可得tanE的值;(3)作CH⊥AE于H,如圖,由△ACD∽△AEC,利用相似比得到AE=12,CE= CD,則DE=AE﹣AC=8,在Rt△CDE中利用三角函數(shù)和特殊角的三角形函數(shù)值得到∠E=30°,則可計算出CD= DE=4,CE=4 ,接著計算出CH,然后根據(jù)三角形面積公式求解.

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