Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O為△ABC的內切圓．

（1）求⊙O的半徑；

（2）點P從點B沿邊BA向點A以1cm/s的速度勻速運動，以P為圓心，PB長為半徑作圓，設點P運動的時間為t s，若⊙P與⊙O相切，求t的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）如圖1，設⊙O與AB、BC、CA的切點分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，

 

則AD=AF，BD=BE，CE=CF．

∵⊙O為△ABC的內切圓，

∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°．

∵∠C=90°，

∴四邊形CEOF是矩形，

∵OE=OF，

∴四邊形CEOF是正方形．

設⊙O的半徑為rcm，則FC=EC=OE=rcm，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，

∴AB==5cm．

∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r，

∴4﹣r+3﹣r=5，

解得 r=1，即⊙O的半徑為1cm．

 

（2）如圖2，過點P作PG⊥BC，垂直為G．

∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC．

∴△PBG∽△ABC，∴．∵BP=t，

∴PG=，BG=．

若⊙P與⊙O相切，則可分為兩種情況，⊙P與⊙O外切，⊙P與⊙O內切．

①當⊙P與⊙O外切時，

 

如圖3，連接OP，則OP=1+t，過點P作PH⊥OE，垂足為H．

∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，

∴四邊形PHEG是矩形，

∴HE=PG，PH=CE，

∴OH=OE﹣HE=1﹣，PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣．

在Rt△OPH中，

由勾股定理，，

解得 t=．

②當⊙P與⊙O內切時，

如圖4，連接OP，則OP=t﹣1，過點O作OM⊥PG，垂足為M．

∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，

∴四邊形OEGM是矩形，

∴MG=OE，OM=EG，

∴PM=PG﹣MG=，OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣，

在Rt△OPM中，

由勾股定理，，解得 t=2．

綜上所述，⊙P與⊙O相切時，t=s或t=2s．