Question

如圖，在直角坐標系xOy中，二次函數y=x²+（2k﹣1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B，使△AOB的面積等于6，求點B的坐標；

（3）對于（2）中的點B，在此拋物線上是否存在點P，使∠POB=90°？若存在，求出點P的坐標，并求出△POB的面積；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵函數的圖象與x軸相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。

∴這個二次函數的解析式為y=x²﹣3x。

（2）如圖，過點B做BD⊥x軸于點D，

令x²﹣3x=0，解得：x=0或3�！郃O=3。

∵△AOB的面積等于6，∴AO•BD=6�！郆D=4。

∵點B在函數y=x²﹣3x的圖象上，

∴4=x²﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。

又∵頂點坐標為：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，

∴x軸下方不存在B點。

∴點B的坐標為：（4，4）。

   （3）存在。

∵點B的坐標為：（4，4），∴∠BOD=45°，。

若∠POB=90°，則∠POD=45°。

設P點坐標為（x，x²﹣3x）。

∴。

若，解得x=4 或x=0（舍去）。此時不存在點P（與點B重合）。

若，解得x=2 或x=0（舍去）。

當x=2時，x²﹣3x=﹣2。

∴點P 的坐標為（2，﹣2）。

∴。

∵∠POB=90°，∴△POB的面積為： PO•BO=××=8。

【解析】（1）將原點坐標代入拋物線中即可求出k的值，從而求得拋物線的解析式。

（2）根據（1）得出的拋物線的解析式可得出A點的坐標，也就求出了OA的長，根據△OAB的面積可求出B點縱坐標的絕對值，然后將符合題意的B點縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出B點的坐標，然后根據B點在拋物線對稱軸的右邊來判斷得出的B點是否符合要求即可。

（3）根據B點坐標可求出直線OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P點的坐標特點，代入二次函數解析式可得出P點的坐標．求△POB的面積時，求出OB，OP的長度即可求出△BOP的面積。