Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12 cm，BC＝4 cm，點E從點C出發(fā)沿射線CA以每秒3cm的速度運動，同時點F從點B出發(fā)沿射線BC以每秒1cm的速度運動．設運動時間為t秒．

(1)若0＜t ＜4，試問：t為何值時，以E、C、F為頂點的三角形與△ABC相似；

(2)若∠ACB的平分線CG交△ECF的外接圓于點G．

①試說明：當0＜t ＜4時，CE、CF、CG在運動過程中，滿足CE＋CF＝CG.

②試探究：當t≥4時，CE、CF、CG的數(shù)量關系是否發(fā)生變化，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)t=2或0.4秒；(2)①證明見解析；②CE﹣CF=CG．

【解析】

（1）0＜t＜4時，E和F分別在邊AC和BC上，分成△EFC∽△ABC和△FEC∽△ABC兩種情況，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可求解；
（2）分成0＜t＜4和t≥4兩種情況進行討論，①當0＜t＜4時，證明△EGH≌△FGC，△CGH是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，②當t≥4時，思路相同

解：(1)由題意，EC=3t，BF=t，FC=4﹣t

∵∠ECF=∠ACB，

∴以E、C、F為頂點的三角形與△ACB相似有兩種情況：

當時，△EFC∽△ABC

∴，解得t=2，

當時，△FEC∽△ABC

∴，解得t=0.4．

∴當t=2或0.4秒時，以E、C、F為頂點的三角形與△ABC相似；

(2)①當0＜t＜4時，

過點G作GH⊥CG交AC于H，如圖1：

∵∠ACB=90°，

∴EF為△ECF的外接圓的直徑，

∴∠EGF=90°，

∴∠EGH=∠FGC，

∵CG平分∠ACB，

∴∠ECG=∠FCG=45°

∴弧EG=弧FG

∴EG=FG

∵∠ECG=45°，

∴∠EHG=45°，

∴∠EHG=∠FCG，

在△EGH和△FGC中，

，

∴△EGH≌△FGC．

∴EH=FC

∵∠EHG=∠ECG=45°，

∴CH=CG

∵CH=CE+EH，

∴CE+CF=CG；

②當t≥4時，

過點G作GM⊥CG交AC于M，如圖2：

同理可得△EGM≌△FGC．

∴EM=FC

∵∠EMG=∠MCG=45°，

∴CM=CG

∵CM=CE﹣EM，

∴CE﹣CF=CG．