Question

已知關(guān)于x的方程x²-（2k+1）x+k²-1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂，且（x₁-2）（x₂-2）=7-3k，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：由關(guān)于x的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，將已知的等式變形后，把表示出的兩根之和與兩根之積代入得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
解答：解：∵x²-（2k+1）x+k²-1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²-1，且△=（2k+1）²-4（k²-1）=4k+5＞0，即k＞-，
∵（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=k²-1-2（2k+1）+4=7-3k，
整理得：k²-k-10=0，
解得：k=，
∴k=或k=（舍去），
則k的值為．
點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax²+bx+c=0，當(dāng)b²-4ac≥0時，方程有解，分別設(shè)為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-，x₁x₂=．