Question

已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點，且與y軸交于點C．

（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點C的坐標(biāo)；

（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時，求點E的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1），C(0,3)；(2)點P的坐標(biāo)為：（-1，6），（0，3）；(3)

【解析】

試題分析：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點也是難點應(yīng)重點掌握．

（1）根據(jù)A（3，0），B（4，1）兩點利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；

（2）從當(dāng)△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，且∠PAB=90°與當(dāng)△PAB是以B為直角頂點的直角三角形，且∠PBA=90°，分別求出符合要求的答案；

（3）根據(jù)當(dāng)OE∥AB時，△FEO面積最小，得出OM=ME，求出即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點，

解得：，

∴

∴點C的坐標(biāo)為：（0，3）；

（2）假設(shè)存在，分兩種情況：

①當(dāng)△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，且∠PAB=90°，

如圖1，過點B作BM⊥x軸于點M，設(shè)D為y軸上的點，

∵A（3，0），B（4，1），

∴AM=BM=1，

∴∠BAM=45°，

∴∠DAO=45°，

∴AO=DO，

∵A點坐標(biāo)為（3，0），

∴D點的坐標(biāo)為：（0，3），

∴直線AD解析式為：y=kx+b，將A，D分別代入得：

∴0=3k+b，b=3，

∴k=-1，

∴y=-x+3，

∴，

∴x²-3x=0，

解得：x=0或3，

∴y=3，y=0（不合題意舍去），

∴P點坐標(biāo)為（0，3），

∴點P、C、D重合，

②當(dāng)△PAB是以B為直角頂點的直角三角形，且∠PBA=90°，

如圖2，過點B作BF⊥y軸于點F，

由（1）得，F(xiàn)B=4，∠FBA=45°，

∴∠DBF=45°，

∴DF=4，

∴D點坐標(biāo)為：（0，5），B點坐標(biāo)為：（4，1），

∴直線BD解析式為：y=kx+b，將B，D分別代入得：

∴1=4k+b，b=5，

∴k=-1，

∴y=-x+5，

∴，

∴x²-3x-4=0，

解得：x₁=-1，x₂=4（舍），

∴y=6，

∴P點坐標(biāo)為（-1，6），

∴點P的坐標(biāo)為：（-1，6），（0，3）；

（3）如圖3：作EM⊥AO于M，

∵直線AB的解析式為：y=x-3，

∴tan∠OAC=1，

∴∠OAC=45°，

∴∠OAC=∠OAF=45°，

∴AC⊥AF，

∵，

OE最小時S_△FEO最小，

∵OE⊥AC時OE最小，

∵AC⊥AF

∴OE∥AF

∴∠EOM=45°，

∴MO=EM，

∵E在直線CA上，

∴E點坐標(biāo)為（x，-x+3），

∴x=-x+3，

解得：x=，

∴E點坐標(biāo)為（，）．

考點：1. 待定系數(shù)法;2.二次函數(shù)綜合題;3. 數(shù)形結(jié)合.