【題目】綜合與實踐﹣﹣旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學
問題背景:在一次綜合實踐活動課上,同學們以兩個矩形為對象,研究相似矩形旋轉(zhuǎn)中的問題:已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,它們各自對角線的交點重合于點O,連接AA′,CC′.請你幫他們解決下列問題:
觀察發(fā)現(xiàn):(1)如圖1,若A′B′∥AB,則AA′與CC′的數(shù)量關系是______;
操作探究:(2)將圖1中的矩形ABCD保持不動,矩形A′B′C′D′繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α≤90°),如圖2,在矩形A′B′C′D′旋轉(zhuǎn)的過程中,(1)中的結論還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;
操作計算:(3)如圖3,在(2)的條件下,當矩形A′B′C′D′繞點O旋轉(zhuǎn)至AA′⊥A′D′時,若AB=6,BC=8,A′B′=3,求AA′的長.
【答案】AA′=CC′
【解析】
(1)連接AC、A′C′,根據(jù)題意得到點A、A′、C′、C在同一條直線上,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA=OC,OA′=OC′,得到答案;
(2)連接AC、A′C′,證明△A′OA≌△C′OC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明;
(3)連接AC,過C作CE⊥AB′,交AB′的延長線于E,根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出B′C′,根據(jù)勾股定理計算即可.
(1)AA′=CC′,
理由如下:連接AC、A′C′,
∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,∠CAB=∠C′A′B′,
∵A′B′∥AB,
∴點A、A′、C′、C在同一條直線上,
由矩形的性質(zhì)可知,OA=OC,OA′=OC′,
∴AA′=CC′,
故答案為:AA′=CC′;
(2)(1)中的結論還成立,AA′=CC′,
理由如下:連接AC、A′C′,則AC、A′C′都經(jīng)過點O,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠A′OA=∠C′OC,
∵四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′都是矩形,
∴OA=OC,OA′=OC′,
在△A′OA和△C′OC中,
,
∴△A′OA≌△C′OC,
∴AA′=CC′;
(3)連接AC,過C作CE⊥AB′,交AB′的延長線于E,
∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,
∴,即,
解得,B′C′=4,
∵∠EB′C=∠B′C′C=∠E=90°,
∴四邊形B′ECC′為矩形,
∴EC=B′C′=4,
在Rt△ABC中,AC==10,
在Rt△AEC中,AE==2,
∴AA′+B′E=2﹣3,又AA′=CC′=B′E,
∴AA′=.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,∠ACB=90°,OC=2BO,AC=6,點B的坐標為(1,0),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點.
(1)求點A的坐標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)點P是直線AB上方拋物線上的一點,過點P作PD垂直x軸于點D,交線段AB于點E,使PE=DE.
①求點P的坐標;
②在直線PD上是否存在點M,使△ABM為直角三角形?若存在,求出符合條件的所有點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】某商家用1200元購進了一批T恤,上市后很快售完,商家又用2800元購進了第二批這種T恤,所購數(shù)量是第一批購進量的2倍,但單價貴了5元.
(1)該商家購進的第一批T恤是多少件?
(2)若兩批T恤按相同的標價銷售,最后剩下20件按八折優(yōu)惠賣出,如果希望兩批T恤全部售完的利潤率不低于16%(不考慮其它因素),那么每件T恤的標價至少是多少元?
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【題目】已如:⊙O與⊙O上的一點A
(1)求作:⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF;( 要求:尺規(guī)作圖,不寫作法但保留作圖痕跡)
(2)連接CE,BF,判斷四邊形BCEF是否為矩形,并說明理由.
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【題目】如圖是某旅游景點的一處臺階,其中臺階坡面AB和BC的長均為6m,AB部分的坡角∠BAD為45°,BC部分的坡角∠CBE為30°,其中BD⊥AD,CE⊥BE,垂足為D,E.現(xiàn)在要將此臺階改造為直接從A至C的臺階,如果改造后每層臺階的高為22cm,那么改造后的臺階有多少層?(最后一個臺階的高超過15cm且不足22cm時,按一個臺階計算.可能用到的數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732)
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線交軸于點,交軸于點,以為邊作正方形,請解決下列問題:
(1)求點和點的坐標;
(2)求直線的解析式;
(3)在直線上是否存在點,使為等腰三角形?若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,說明理由.
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【題目】綜合與實踐
(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,和均為等邊三角形,點在同一直線上,連接.請寫出的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關系,并說明理由.
(2)類比探究
如圖2,和均為等腰直角三角形,,點在同一直線上,為中邊上的高,連接.
填空:①的度數(shù)為____________;
②線段之間的數(shù)量關系為_______________________________.
(3)拓展延伸
在(2)的條件下,若,則四邊形的面積為______________.
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【題目】如圖是反比例函數(shù)的圖象的一個分支.
比例系數(shù)的值是________;
寫出該圖象的另一個分支上的個點的坐標:________、________;
當在什么范圍取值時,是小于的正數(shù)?
如果自變量取值范圍為,求的取值范圍.
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【題目】“垃圾分類”意識已經(jīng)深入人心.我校王老師準備用元(全部用完)購買兩類垃圾桶,已知類桶單價元,類桶單價元,設購入類桶個,類桶個.
(1)求關于的函數(shù)表達式.
(2)若購進的類桶不少于類桶的倍.
①求至少購進類桶多少個?
②根據(jù)臨場實際購買情況,王老師在總費用不變的情況下把一部分類桶調(diào)換成另一種類桶,且調(diào)換后類桶的數(shù)量不少于類桶的數(shù)量,已知類桶單價元,則按這樣的購買方式,類桶最多可買 個.(直接寫出答案)
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