Question

8．如圖，在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=12cm，動點P從點B出發(fā)，沿BA向A運動，運動速度為1cm/s，動點Q從點C出發(fā)，沿CA向A運動，運動速度為2cm/s．P，Q兩個動點同時出發(fā)，t表示運動時間，在0＜t≤4時．
（1）求t為何值，△APQ是等腰三角形．
（2）求t為何值，以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似；
（3）線段BC上是否存在一點，使四邊形APDQ是平行四邊形？若存在，請直接寫出CD的長度（不必寫具體求解過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先由AB=6，AC=8，BC=12，判斷出△ABC為直角三角形，由運動表示出AP，AQ即可，
（2）已知夾角相等，要兩三角形相似，邊成比例，分兩種情況計算；
（3）由∠A=90°，要是平行四邊形，必須∠APD=90°，同理∠AQD=90°，所以點D是BC的中點．

解答 解：（1）∵AB=6，AC=8，BC=12，
∴△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，
∵△APQ為等腰三角形，
∴AP=AQ，
∵BP=t，CQ=2t，
∴AP=6-t，AQ=8-2t，
∴6-t=8-2t，
∴t=2；
即t=2時，△APQ為等腰三角形；
（2）∵以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$或$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$，
當$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$時，
∴$\frac{6-t}{6}=\frac{8-2t}{8}$，
∴t=0（舍）
當$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$時，
∴$\frac{6-t}{8}=\frac{8-2t}{6}$，
∴t=$\frac{14}{5}$，
即：t=$\frac{14}{5}$時△APQ∽△ACB；
（3）如圖，
假設(shè)線段BC上是存在一點，使四邊形APDQ是平行四邊形，
∴PD∥AQ，PD=AQ，
$\frac{PD}{AC}=\frac{PB}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$
∴$\frac{AQ}{AC}=\frac{BP}{AB}$，
∴$\frac{8-2t}{8}=\frac{t}{6}$
∴t=2.4
∴PB=2.4，
∴$\frac{2.4}{6}=\frac{CD}{12}$
∴CD=4.8．
即：存在點D，CD=4.8時，四邊形APDQ是平行四邊形．

點評 本題是相似三角形綜合題，主要考查相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是找到相似，本題的難點是分情況計算．