Question

1．如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)分別作3個(gè)等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形？
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形，并說明理由．
（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，邊形ADEF是菱形，并說明理由．
（4）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是正方形，不要說明理由．

Answer 1

分析 （1）可先證明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）如四邊形ADEF是矩形，則∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形；
（3）若四邊形ADEF是菱形，則AD=AF，所以AB=AC，則△ABC是等腰三角形；
（4）若四邊形ADEF是正方形，則AD=AF，且∠DAF=90°，所以△ABC是等腰三角形，且∠BAC=150°．

解答 證明：（1）∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC與△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形．

（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴當(dāng)∠DAF=90°時(shí)，四邊形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
則當(dāng)∠BAC=150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形；

（3）∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴當(dāng)AD=AF時(shí)，四邊形ADEF是菱形，
又∵AD=AB，AF=AC，
∴AB=AC時(shí)，四邊形ADEF是菱形；

（4）綜合（2）、（3）知，當(dāng)△ABC是等腰三角形，且∠BAC=150°時(shí)，四邊形ADEF是正方形．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，本題主要應(yīng)用的知識點(diǎn)為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．