Question

【題目】如圖所示，△ABC，△ADE為等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．（1）如圖1，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D與C重合，F為線段BD的中點(diǎn)．則線段EF與FC的數(shù)量關(guān)系是 ；∠EFD的度數(shù)為 ；

（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將△ADE繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其中D、A、C在一條直線上，F為線段BD的中點(diǎn)．則線段EF與FC是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？證明你的結(jié)論；

（3）若△ADE繞A點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖③的位置，F為線段BD的中點(diǎn)，連接EF、FC，請你完成圖3，請猜想線段EF與FC的關(guān)系，并驗(yàn)證你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）EF=FC，90°．（2）EF=FC，EF⊥FC，證明見解析；（3）EF=FC，EF⊥FC.

【解析】

試題解析：（1）易得△EFC是等腰直角三角形，那么EF=FC，∠EFD=90°．

（2）延長線段CF到M，使使FM=CF，連接DM、ME、EC，易證△BFC≌△DFM，進(jìn)而可以證明△MDE≌△CAE，即可證明EF=FC，EF⊥FC；

（3）基本方法同（2）．

試題解析：（1）EF=FC，90°．

（2）延長CF到M，使使FM=CF，連接DM、ME、EC

∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，

∴△BFC≌△DFM，

∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，

∴MD=AC，MD∥BC，

∵ED=EA，∠MDE=∠EAC=135°，

∴△MDE≌△CAE，

∴ME=EC，∠DEM=∠CEA，

∴∠MEC=90°，

∴EF=FC，EF⊥FC

（3）EF=FC，EF⊥FC．