【題目】如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差,那么稱這個正整數(shù)為奇特數(shù).例如:

,,;則、這三個數(shù)都是奇特數(shù).

(1)這兩個數(shù)是奇特數(shù)嗎?若是,表示成兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差形式.

(2)設兩個連續(xù)奇數(shù)是(其中取正整數(shù)),由這兩個連續(xù)奇數(shù)構造的奇特數(shù)是的倍數(shù)嗎?為什么?

【答案】(1)32是奇特數(shù),32=92-72,2012不是奇特數(shù);(2)兩個連續(xù)奇數(shù)構造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)理由見解析.

【解析】

(1)根據(jù)32=92-72,以及8、16、24這三個數(shù)都是奇特數(shù),他們都是8的倍數(shù),進行判斷;

(2)利用平方差公式計算(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n,得到兩個連續(xù)奇數(shù)構造的奇特數(shù)是8的倍數(shù).

解:(1)∵32=92-72,

∴32是奇特數(shù);

∵8、16、24這三個數(shù)都是奇特數(shù),他們都是8的倍數(shù),2012不是8的倍數(shù),

∴2012這個數(shù)不是奇特數(shù);

(2)兩個連續(xù)奇數(shù)構造的奇特數(shù)是8的倍數(shù),理由如下:

(2n+1)2-(2n-1)2

=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)

=4n×2

=8n.

故答案為:(1)32是奇特數(shù),32=92-72,2012不是奇特數(shù);(2)兩個連續(xù)奇數(shù)構造的奇特數(shù)是8的倍數(shù),理由見解析.

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