【題目】以C為直角頂點的兩個等腰直角△CAB和△CDG,E為AB的中點,F為DG的中點.
(1)如圖1,點A、B分別在邊CD,CG上,則EF與AD的數(shù)量關系是______________;
(2)如圖2,點A、B不在邊CD、CG上,(1)中EF與AD的關系還成立嗎?請證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,若A、B、G在同一直線上,且A、C、B、F在同一圓上,直接寫出△CDG與△CAB面積之比.
【答案】(1)AD=EF;(2)成立,證明見解析;(3).
【解析】試題分析:(1)連接CE、CF,證明C、E、F三點共線,然后在Rt△ACE中,由∠A=45°,可得AC=CE,同理,DC=CF,再根據(jù)AD=CD-AC,推導即可得;
(2)成立,連接CE、CF,通過證明△ACD∽△ECF,根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可得;
(3)連接CE,由A、C、B、F在同一圓上,可知點E為圓心,從而可得CE=EF,再由(2)AD=EF、AC=CE從而可得AC=AD,由已知可得△ACD≌△BCG,從而可得∠ADC=∠AGB=22.5°,可得∠DAG=90°,設AE=x,則AB =2x,AG=2x+x,AD=x,由勾股定理DG2= (8+4)x2,再由△CDG∽△CAB,可得.
試題解析:(1)如圖(1)連接CE,CF,
∵CA=CB,CD=CG,E為AB中點,F為DG中點,∴CE⊥AB,CF⊥DG,
∵∠C=90°,∴∠CAB=∠CDG=45°,∴AB//DG,∴C、E、F三點共線,
在Rt△ACE中,∠A=45°,∴AC=CE,
同理,DC=CF,
∵AD=CD-AC,EF=CF-CE,
∴AD=EF,
故答案為:AD=EF;
(2)成立.
連接CE、CF,
∵∠ACB=∠DCG=90°,CA=CB,CD=CG,AE=BE,DF=GF,
∴∠ACE=45°,∠DCF=45°,∠CAB=∠CDG=45°,∠AEC=∠DFC=90°,
∴∠ACD=∠ECF,
在Rt△ACE中,∠CAE=45°,∴AC=CE,
同理,DC=CF,
∴AC:CE=DC:CF,
∴△ACD∽△ECF,∴AD:EF=AC:CE=,
∴AD=EF;
(3)連接CE,
∵A、C、B、F四點共圓,∠ACB=90°,AE=EB,∴E為圓心,
∴AE=CE=EF=BE,
∵∠ACB=∠DCG=90°,∴∠ACD=∠BCG,
∵AC=BC,DC=GC,∴△ACD≌△BCG,
∴BG=AD,∠CDA=∠CGB,
由(2)AD=EF、AC=CE,∴AD=AC,
∴CB=BG,∴∠BCG=∠BGC,
∵∠BCG+∠BGC=∠ABC=45°,
∴∠BGC=22.5°,
∴∠ADC=22.5°,
∵∠CGD=∠CDG=45°,∴∠AGD=22.5°,
∴∠AGD+∠CDG+∠ADC=90°,
∴∠DAG=90°,
設AE=x,則AB =2x,AG=2x+x,AD=x,
由勾股定理DG2=AD2+AG2,
∴DG2=(x)2+(2x+x)2=(8+4)x2,
∵△CDG∽△CAB,
∴.
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【題目】已知,如圖點P是△ABC的邊BC上的一動點,點E與點P關于直線AB成軸對稱,連接EP交AB于點F,連接AP、EC相交于點O,連接AE.
(1)判斷AE與AP的數(shù)量關系,并說明理由.
(2)在點P的運動過程中,當AE∥BC時,判斷AP與BP的數(shù)量關系,并說明理由.
(3)若∠BAC=900,點P在運動過程中是否存在線段AP與線段EC互相平分的情況,若存在,請求出點P的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,直線分別與x軸、y軸交于兩點,與直線交于點C(4,2).
(1)點A坐標為( , ),B為( , );
(2)在線段上有一點E,過點E作y軸的平行線交直線于點F,設點E的橫坐標為m,當m為何值時,四邊形是平行四邊形;
(3)若點P為x軸上一點,則在平面直角坐標系中是否存在一點Q,使得四個點能構(gòu)成一個菱形.若存在,求出所有符合條件的Q點坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,點P從(0,2)出發(fā),沿所示的方向運動,每當碰到矩形的邊時反彈,反彈時反射角等于入射角,當點P第2019次碰到矩形的邊時點P的坐標為( )
A.( 2,4 )B.( 2,0 )C.( 8,2)D.( 6,0 )
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C= 90°,D是BC邊上一點,以DB為直徑的⊙O經(jīng)過AB的中點E,交AD的延長線于點F,連接EF.
(1)求證:∠1= ∠F;
(2)若CD= 3,EF=,求⊙O的半徑長.
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【題目】尺規(guī)作圖,不寫作法,但要求保留作圖痕跡.
(1)已知:線段a和∠α,如圖.求作:△ABC,使得AB=a,∠ABC=∠α.∠BAC=2∠α.
(2)在(1)的條件下,若∠ABC=360,求∠ACB的度數(shù).
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【題目】已知n邊形的內(nèi)角和θ=(n﹣2)×180°.
(1)甲同學說,θ能取900°;而乙同學說,θ也能取800°.甲、乙的說法對嗎?若對,求出邊數(shù)n.若不對,說明理由;
(2)若n邊形變?yōu)椋?/span>n+x)邊形,發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了540°,用列方程的方法確定x.
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【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)的圖象交于A(﹣1,m)、B(n,﹣1)兩點.
(1)求出A、B兩點的坐標;
(2)求出這個一次函數(shù)的表達式;
(3)根據(jù)圖象,寫出使一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x的范圍.
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