Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，4），拋物線經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線上．

1.求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

2.若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由

3.在（2）的條件下，連結(jié)BD，已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBD的周長(zhǎng)最小．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

4.在（2）、（3）的條件下，若點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O、B不重合），過(guò)點(diǎn)M作MN∥BD交x軸于點(diǎn)N，連結(jié)PM、PN，設(shè)OM的長(zhǎng)為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.∵拋物線經(jīng)過(guò)B（0，4），∴，------1分

 ∵頂點(diǎn)在直線上，∴，，

∴所求函數(shù)關(guān)系式為： --------------------------------------2分

2.在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴，

∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，

 ∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0）．---------------------------------3分 

當(dāng)時(shí)，，-----------------------------------------4分

當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在所求拋物線上．--------------------------------------------------5分

3.設(shè)CD與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)， --------------------------6分

設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，

則，解得：，

∴，---------------------7分

當(dāng)時(shí)，，∴P（，），-------------------8分

4.∵M(jìn)N∥BD，∴△OMN∽△OBD，

∴，，，---------------9分

設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F，則，

∵，，

∴（-------------10分

由，

∴當(dāng)時(shí)，S取得最大值為，-----------------11分

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）．

【解析】此題考核二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

（1）   通過(guò)B（0，4），頂點(diǎn)在直線上，求出函數(shù)關(guān)系式

（2）   通過(guò)勾股定理和菱形性質(zhì)求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)關(guān)系式求證

（3）   通過(guò)C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo), 求出直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)

通過(guò)△OMN∽△OBD，求得，再通過(guò)面積求得S與t的函數(shù)關(guān)系式，從而求得最大值和M點(diǎn)的坐標(biāo)