Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，4），拋物線y=

2

3

x²+bx+c經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線x=

5

2

上．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線上A、B點(diǎn)的坐標(biāo)以及拋物線的對(duì)稱軸方程，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）首先求出AB的長(zhǎng)，將A、B的坐標(biāo)向右平移AB個(gè)單位，即可得出C、D的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）由題意，可設(shè)所求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=

2

3

（x-

5

2

）²+m，
∵點(diǎn)B（0，4）在此拋物線上，
∴4=

2

3

×（0-

5

2

）²+m，
∴m=-

1

6

，
∴所求函數(shù)關(guān)系式為：y=

2

3

（x-

5

2

）²-

1

6

=

2

3

x²-

10

3

x+4；
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），
當(dāng)x=5時(shí)，y=

2

3

×5²-

10

3

×5+4=4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=

2

3

×2²-

10

3

×2+4=0，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在所求拋物線上．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、菱形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，題目的綜合性很強(qiáng)，但難度不大．