Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，4），拋物線(xiàn)y=

2

3

x2+bx+c經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線(xiàn)x=

5

2

上．
（1）求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線(xiàn)上，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的前提下，若M點(diǎn)是CD所在直線(xiàn)下方該拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN平行于y軸交CD于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，MN的長(zhǎng)度為l．求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求l取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線(xiàn)上A、B點(diǎn)的坐標(biāo)以及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程，可用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式．
（2）首先求出AB的長(zhǎng)，將A、B的坐標(biāo)向右平移AB個(gè)單位，即可得出C、D的坐標(biāo)，再代入拋物線(xiàn)的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可．
（3）根據(jù)C、D的坐標(biāo)，易求得直線(xiàn)CD的解析式；那么線(xiàn)段MN的長(zhǎng)實(shí)際是直線(xiàn)BC與拋物線(xiàn)的函數(shù)值的差，可將x=t代入兩個(gè)函數(shù)的解析式中，得出的兩函數(shù)值的差即為l的表達(dá)式，由此可求出l、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出l取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=

2

3

x2+bx+c的頂點(diǎn)在直線(xiàn)x=

5

2

上，
∴可設(shè)所求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=

2

3

(x-

5

2

)2+m（1分）
∵點(diǎn)B（0，4）在此拋物線(xiàn)上，
∴4=

2

3

×(-

5

2

)2+m
∴m=-

1

6

（3分）
∴所求函數(shù)關(guān)系式為：y=

2

3

(x-

5

2

)2-

1

6

=

2

3

x2-

10

3

x+4（4分）

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=5
∵四邊形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5（5分）
∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0）；（6分）
當(dāng)x=5時(shí)，y=

2

3

×5²-

10

3

×5+4=4
當(dāng)x=2時(shí)，y=

2

3

×2²-

10

3

×2+4=0
∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在所求拋物線(xiàn)上；（7分）

（3）設(shè)直線(xiàn)CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b′，
則

5k+b′=4 2k+b′=0

；
解得：

k= 4 3 b′= - 8 3

；
∴y=

4

3

x-

8

3

（9分）
∵M(jìn)N∥y軸，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，
∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為t；
則y_M=

2

3

t2-

10

3

t+4，y_N=

4

3

t-

8

3

，（10分）
∴l(xiāng)=y_N-y_M=

4

3

t-

8

3

-（

2

3

t2-

10

3

t+4）=-

2

3

t2+

14

3

t-

20

3

=-

2

3

(t-

7

2

)2+

3

2

∵-

2

3

＜0，
∴當(dāng)t=

7

2

時(shí)，l_最大=

3

2

，y_M=

2

3

t2-

10

3

t+4=

1

2

．
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

7

2

，

1

2

）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，菱形的性質(zhì)，圖象的平移變換，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．