Question

已知直角梯形OABC在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CO向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)。

（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。

①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半；

②當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OAMN的面積最小，并求出最小面積。

③若另有一動(dòng)點(diǎn)P，在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，也從點(diǎn)A出發(fā)沿AO運(yùn)動(dòng)。在②的條件下，PM＋PN的長(zhǎng)度也剛好最小，求動(dòng)點(diǎn)P的速度。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解（1）作BD⊥OC于D，則四邊形OABD是矩形，

∴OD=AB=10  ∴CD=OC－OD=12   ∴OA=BD==9  ∴B（10，9）

（2）①由題意知：AM=t，ON=OC－CN=22－2t    ∵四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半 ∴   ∴t=6

②設(shè)四邊形OAMN的面積為S，則 

∵0≤t≤10，且s隨t的增大面減小 ∴當(dāng)t=10時(shí)，s最小，最小面積為54。

③如備用圖，取N點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N^/，連結(jié)MN^/交AO于點(diǎn)P，此時(shí)PM＋PN=PM＋PN^/=MN長(zhǎng)度最小。

當(dāng)t=10時(shí)，AM=t=10=AB，ON=22－2t=2 

∴M（10，9），N（2，0）∴N^/（－2，0）  

設(shè)直線MN^/的函數(shù)關(guān)系式為，則

  解得                     

∴P（0，）   ∴AP=OA－OP=  

∴動(dòng)點(diǎn)P的速度為個(gè)單位長(zhǎng)度/ 秒  

【解析】（1）由題意可以先構(gòu)造矩形OABD，然后根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解；

（2）是動(dòng)點(diǎn)型的題要設(shè)好未知量：

①AM=t，ON=OC-CN=22-2t，根據(jù)四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半，列出等式求出t值；

②設(shè)四邊形OAMN的面積為S，用t表示出四邊形OAMN的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；

③由題意取N點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接MN′交AO于點(diǎn)P，此時(shí)PM+PN=PM+PN′=MN長(zhǎng)度最小，表示出點(diǎn)M，N，N′的坐標(biāo)，設(shè)直線MN′的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，最后待定系數(shù)法進(jìn)行求解．